Equazioni logaritmiche risolte

Innanzitutto, poniamo la condizione di esistenza del logaritmo:

$$2x-3 > 0\ \Rightarrow\ \mbox{C.E.}\ x>\cfrac{3}{2}$$

Adesso passiamo alla risoluzione dell'equazione:

$$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2\\
\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}\\
\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\\
2x-3=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\\
2x-3=9\\
x=6\end{array}$$

Essendo all'interno del campo di esistenza ($x>\frac{3}{2}$), $x=6$ è la soluzione della nostra equazione.

Il campo di esistenza del logaritmo è banalmente $x>0$. Procediamo dunque con la risoluzione dell'equazione osservando che $125=5^3$:

$$\begin{array}{l}
4\log_{16}x=\log_5\frac{1}{125}\\
\log_{16}x^4=\log_5\frac{1}{5^3}\\
\log_{16}x^4=\log_5 5^{-3}\\
\log_{16}x^4=-3\end{array}$$

Facciamo apparire un logaritmo in base 16 a secondo membro in modo da poter poi togliere i logaritmi in entrambi i membri applicando le proprietà dei logaritmi e delle potenze:

$$\begin{array}{l}
\log_{16}x^4=-3\log_{16}16\\
\log_{16}x^4=\log_{16}16^{-3}\\
x^4=16^{-3}\\
x^4=2^{-12}=\\
x^4=\frac{1}{2^{12}}\\
x=\pm\cfrac{1}{\sqrt[4]{2^{12}}}=\\
x=\pm\cfrac{1}{2^3}=\\
x=\pm\cfrac{1}{8}\end{array}$$

Essendo il campo di esistenza $x>0$, la soluzione accettabile dell'equazione proposta è $x=\cfrac{1}{8}$.

Al solito, iniziamo con il determinare il campo di esistenza:

$$\begin{cases} x > 0\\
2x-1 > 0\end{cases}$$
$$\begin{cases}
x > 0\\
x > \cfrac{1}{2}\end{cases}$$

Il risultato del sistema è $x > \cfrac{1}{2}$.

Procediamo con la risoluzione trasformando il logaritmo in base $\cfrac{1}{2}$ tramite la formula del cambio base:

$$\begin{array}{l}
\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)=\\
=\cfrac{\log_2 (2x-1)}{\log_2 \frac{1}{2}}=\\
=\cfrac{\log_2 (2x-1)}{-1}=\log_2 (2x-1)^{-1}=\\
=\log_2 \cfrac{1}{2x-1}\end{array}$$

Sostituiamo quanto trovato nella nostra equazione risolvendola:

$$\begin{array}{l}
\log_2 x=\log_2 \cfrac{1}{2x-1}\\
x=\cfrac{1}{2x-1}\\
x(2x-1)=1\\
2x^2-x-1=0\end{array}$$

Quest'ultima è un'equazione di secondo grado che ha come soluzioni $x=1$ e $x=\cfrac{1}{2}$, ma la soluzione accettabile è soltanto la prima ($x=1$) in accordo con il campo di esistenza trovato inizialmente ($x>\frac{1}{2}$).

Imponiamo dapprima le condizioni di esistenza del logaritmo:

$\sqrt{5-x^2}-x > 0\ \Rightarrow\ \sqrt{5-x^2} > x$

Scriviamo i due sistemi per risolvere la disequazione irrazionale.

$1)\ \begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 5-x^2 > x^2\end{cases}\quad\vee\quad 2)\ \begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x < 0\end{cases}$

Risolviamo il primo sistema:

$$\begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 5-x^2 > x^2\end{cases}$$
$$\begin{cases} x^2\le 5\\ x\ge 0\\ 2x^2 < 5\end{cases}$$
$$\begin{cases} -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}\\ x\ge 0\\ -\sqrt{\cfrac{5}{2}} < x < \sqrt{\cfrac{5}{2}}\end{cases}$$

Quest'ultimo sistema ha soluzione:

$$0\le x < \sqrt{\cfrac{5}{2}}$$

Risolviamo il secondo sistema:

$$\begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x < 0\end{cases}$$
$$\begin{cases} -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}\ge 0\\ x < 0\end{cases}$$

Questo secondo sistema ha soluzione:

$$-\sqrt{5}\le x <0$$

Infine, la soluzione della disequazione irrazionale (nonché il campo di esistenza della disequazione logaritmica) è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ovvero:

$$\begin{array}{l}
0\le x < \sqrt{\cfrac{5}{2}}\ \vee\quad -\sqrt{5}\le x <0\\
-\sqrt{5}\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}\end{array}$$

Risolviamo adesso la disequazione iniziale:

$$\begin{array}{l}
\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=0\\
\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=\log_2 1\\
\sqrt{5-x^2}-x = 1\\
\sqrt{5-x^2}=x+1\end{array}$$

Quest'ultima è un'equazione irrazionale. Osserviamo che, essendo il primo membro sempre maggiore o uguale di 0 (perché una radice quadrata non può assumere valori negativi), dobbiamo imporre che lo sia pure il secondo membro, ovvero:

$$x+1\ge 0 \ \Rightarrow\ x\ge -1$$

Fatto ciò, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri e risolvere quindi l'equazione:

$$\begin{array}
5-x^2=x^2+2x+1\\
2x^2+2x-4=0\\
x^2+x-2=0\\
x=1,\ x=-2\end{array}$$

L'unica soluzione accettabile è $x=1$ in accordo con le condizioni di esistenza del logaritmo ($-\sqrt{5}\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$) e con la condizione di esistenza della radice$x\ge -1$.

Poiché l'argomento del logaritmo è sempre un numero maggiore o uguale a 0, il campo di esistenza per l'equazione data si riduce a:

$$\begin{array}{l}
|x^2-3|-1\neq 0\\
|x^2-3|\neq 1\\
x^2-3\neq\pm 1\end{array}$$

Da $x^2-3\neq 1$, otteniamo:

$x^2\neq 4\ \Rightarrow\  x\neq\pm 2$

Da $x^2-3\neq -1$, otteniamo:

$x^2\neq 2\ \Rightarrow\ x\neq\pm\sqrt{2}$

Passiamo alla procedimento risolutivo dell'equazione. Prima ti consiglio però di ripassare le equazioni con valore assoluto:

$$\begin{array}{l}
\log_2 ||x^2-3|-1|=1\\
\log_2 ||x^2-3|-1|=\log_2 2\\
||x^2-3|-1|= 2\\
|x^2-3|-1=\pm 2\end{array}$$

Da $|x^2-3|-1= -2$ si ha $|x^2-3|=-3$ che è impossibile!

Da $|x^2-3|-1= 2$ segue:

$|x^2-3|=3 \ \Rightarrow\ x^2-3=\pm 3$

Quest'ultima, a sua volta, è equivalente a risolvere le seguenti equazioni:

$$\begin{array}{l}
x^2-3= -3\quad\Rightarrow\quad x=0\\
x^2-3=3\ \Rightarrow\ x^2=6\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{6}\end{array}$$

In conclusione, le soluzioni accettabili dell'equazione data sono $x=0$ e $x=\pm\sqrt{6}$.