Dopo aver appreso cosa sono i logaritmi, come calcolarli e come usare le loro proprietà, ci agginciamo a risolvere alcune equazioni logaritmiche proposte qui di seguito.
$$\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2$$
Innanzitutto, poniamo la condizione di esistenza del logaritmo:
$$2x-3 > 0\quad\Rightarrow\quad\mbox{C.E.}\quad x>\frac{3}{2}$$
Adesso passiamo alla risoluzione dell'equazione:
$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad 2x-3=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \quad\Rightarrow\quad 2x-3=9 \quad\Rightarrow\quad x=6\end{array}$
Essendo all'interno del campo di esistenza ($x>\frac{3}{2}$), $x=6$ è la soluzione della nostra equazione.
$$4\log_{16}x=\log_5\frac{1}{125}$$
Il campo di esistenza del logaritmo è banalmente $x>0$. Procediamo dunque con la risoluzione dell'equazione osservando che $125=5^3$:
$4\log_{16}x=\log_5\frac{1}{125}\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=\log_5\frac{1}{5^3}\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=\log_5 5^{-3}\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=-3$
Facciamo apparire un logaritmo in base 16 a secondo membro in modo da poter poi togliere i logaritmi ad entrambi i membri:
$\begin{array}{l} \log_{16}x^4=-3\log_{16}16\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=\log_{16}16^{-3}\quad\Rightarrow\quad x^4=16^{-3} \quad\Rightarrow\quad x^4=2^{-12}=\frac{1}{2^{12}}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt[4]{2^{12}}}=\pm\frac{1}{2^3}=\pm\frac{1}{8}\end{array}$
Essendo il campo di esistenza $x>0$, la soluzione accettabile dell'equazione proposta è $x=\frac{1}{8}$.
$$\log_2 x=\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)$$
Al solito, iniziamo con il determinare il campo di esistenza:
$\begin{cases} x > 0\\ 2x-1 > 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x > 0\\ x > \frac{1}{2}\end{cases}\quad\Rightarrow x > \frac{1}{2}$
Procediamo con la risoluzione trasformando il logaritmo in base $\frac{1}{2}$ tramite la formula del cambio base:
$\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)=\frac{\log_2 (2x-1)}{\log_2 \frac{1}{2}}=\frac{\log_2 (2x-1)}{-1}=\log_2 (2x-1)^{-1}=\log_2 \frac{1}{2x-1}$
Sostituiamo quanto trovato nella nostra equazione risolvendola:
$\log_2 x=\log_2 \frac{1}{2x-1}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2x-1} \quad\Rightarrow\quad x(2x-1)=1\quad\Rightarrow\quad 2x^2-x-1=0$
Tale equazione ha come soluzioni $x=1$ e $x=\frac{1}{2}$, ma la soluzione accettabile è soltanto la prima ($x=1$) in accordo con il campo di esistenza trovato inizialmente ($x>\frac{1}{2}$).
$$\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=0$$
Imponiamo dapprima le condizioni di esistenza del logaritmo:
$\sqrt{5-x^2}-x > 0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{5-x^2} > x$
Scriviamo i due sistemi per risolvere la disequazione irrazionale.
$1)\ \begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 5-x^2 > x^2\end{cases}\quad\vee\quad 2)\ \begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x < 0\end{cases}$
Risolviamo il primo sistema:
$\begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 5-x^2 > x^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x^2\le 5\\ x\ge 0\\ 2x^2 < 5\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}\\ x\ge 0\\ -\sqrt{\frac{5}{2}} < x < \sqrt{\frac{5}{2}}\end{cases}$
Tale sistema ha soluzione:
$$0\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$$
Risolviamo il secondo sistema:
$\begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x < 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}\ge 0\\ x < 0\end{cases}$
Questo secondo sistema ha soluzione:
$$-\sqrt{5}\le x <0$$
Infine, la soluzione della disequazione irrazionale (nonché il campo di esistenza della disequazione logartimica) è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ovvero:
$$0\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}\quad\vee\quad -\sqrt{5}\le x <0\quad\Rightarrow\quad -\sqrt{5}\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$$
Riprendiamo la disequazione iniziale scrivendo i passaggi necessari per risolverla:
$\begin{array}{l}\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=0\quad\Rightarrow\quad \log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=\log_2 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{5-x^2}-x = 1 \quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad \sqrt{5-x^2}=x+1\end{array}$
Essendo il primo membro sempre maggiore o uguale di 0, dobbiamo imporre che lo sia pure il secondo membro, ovvero:
$$x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1$$
Fatto ciò, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri e risolvere quindi l'equazione:
$5-x^2=x^2+2x+1\quad\Rightarrow\quad 2x^2+2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x^2+x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=1\mbox{ e } x=-2$
L'unica soluzione accettabile è $x=1$ in accordo con le condizioni di esistenza del logaritmo ($-\sqrt{5}\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$) e con la condizione $x\ge -1$.
$$\log_2 ||x^2-3|-1|=1$$
Poichè l'argomento del logaritmo è sempre un numero maggiore o uguale a 0, il campo di esistenza per l'equazione data si riduce a:
$|x^2-3|-1\neq 0 \quad\Rightarrow\quad |x^2-3|\neq 1 \quad\Rightarrow\quad x^2-3\neq\pm 1$
Da $x^2-3\neq 1$, otteniamo:
$x^2\neq 4\quad\Rightarrow\quad x\neq\pm 2$
Da $x^2-3\neq -1$, otteniamo:
$x^2\neq 2\quad\Rightarrow\quad x\neq\pm\sqrt{2}$
Passiamo alla procedimento risolutivo dell'equazione:
$\log_2 ||x^2-3|-1|=1\quad\Rightarrow\quad \log_2 ||x^2-3|-1|=\log_2 2 \quad\Rightarrow\quad ||x^2-3|-1|= 2 \quad\Rightarrow\quad |x^2-3|-1=\pm 2$
Da $|x^2-3|-1= -2$ si ha $|x^2-3|=-3$ che è impossibile!
Da $|x^2-3|-1= 2$ segue:
$|x^2-3|=3 \quad\Rightarrow\quad x^2-3=\pm 3$
Quest'ultima, a sua volta, e equivalente a risolvere le seguenti equazioni:
$\begin{array}{l} x^2-3= -3\quad\Rightarrow\quad x=0\\ x^2-3=3\quad\Rightarrow\quad x^2=6\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{6}\end{array}$
In conclusione, le soluzioni accettabili dell'equazione data sono:
$$x=0\quad\mbox{ e }\quad x=\pm\sqrt{6}$$
