Dimostrare che la funzione $$f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos(x-1)}{x^2-1} & \mbox{se } x>1\\ 0 & \mbox{se } x\le 1\end{cases}$$ è uniformemente continua nel suo insieme di definizione.
Per dimostrare che vale l'uniforme continuità, ci viene in aiuto il seguente teorema:
Sia $f:[a, +\infty[\rightarrow\mathbb R$ continua e supponiamo che $\exists\ \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x)=l\in\mathbb R$. Allora f è uniformemente continua in $[a,+\infty[$.
Verifichiamo che tutte le ipotesi del teorema precendente sono soddisfatte.
Prima di tutto osserviamo che la f è continua in tutto $\mathbb R$ perchè è continua pure in x=1:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{1-\cos(x-1)}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{1-\cos(x-1)}{x-1}=\frac{1}{2}\cdot 0$
essendo $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{1-\cos(x-1)}{x-1}=0$ limite notevole.
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}0=0$
Poichè limite destro e limite sinistro coincidono, la f è continua in x=1.
Inoltre abbiamo che:
$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\frac{1-\cos(x-1)}{x^2-1}=0$
poichè rapporto tra funzione limitata e funzioni infinita.
Grazie al teorema sopra enunciato, la f è uniformemente continua in $[1,+\infty[$ nonchè in $]-\infty,1[$ in quanto funzione costantemente pari a 0. Ne deduciamo che la f è uniformemente continua in $]-\infty,+\infty[$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
