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Esercizi sulle funzioni continue e unif. continue

Funzione trigonometrica definita a tratti unif. continua

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Dimostrare che la funzione $$f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos(x-1)}{x^2-1} & \mbox{se } x>1\\ 0 & \mbox{se } x\le 1\end{cases}$$ è uniformemente continua nel suo insieme di definizione.

Esercizio 1

Per dimostrare che vale l'uniforme continuità, ci viene in aiuto il seguente teorema:

Sia $f:[a, +\infty[\rightarrow\mathbb R$ continua e supponiamo che $\exists\ \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x)=l\in\mathbb R$. Allora f è uniformemente continua in $[a,+\infty[$.

Verifichiamo che tutte le ipotesi del teorema precendente sono soddisfatte.

Prima di tutto osserviamo che la f è continua in tutto $\mathbb R$ perchè è continua pure in x=1:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{1-\cos(x-1)}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{1-\cos(x-1)}{x-1}=\frac{1}{2}\cdot 0$

essendo $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{1-\cos(x-1)}{x-1}=0$ limite notevole.

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}0=0$

Poichè limite destro e limite sinistro coincidono, la f è continua in x=1.

Inoltre abbiamo che:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\frac{1-\cos(x-1)}{x^2-1}=0$

poichè rapporto tra funzione limitata e funzioni infinita.

Grazie al teorema sopra enunciato, la f è uniformemente continua in $[1,+\infty[$ nonchè in $]-\infty,1[$ in quanto funzione costantemente pari a 0. Ne deduciamo che la f è uniformemente continua in $]-\infty,+\infty[$

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