Una disequazione si dice irrazionale quando l'incognita $x$ compare all'interno di una radice. Il procedimento risolutivo per tali tipi di disequazioni varia a seconda che l'indice della radice è pari o dispari.
Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice dispari
Consideriamo le seguenti disequazioni irrazionali:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{A(x)} > B(x)\quad\quad\mbox{o}\quad\quad \sqrt[n]{A(x)} < B(x)}$$
dove $A(x)$ e $B(x)$ rappresentano delle espressioni razionali della variabile $x$ ed $n$ un numero intero positivo dispari.
Osserviamo che la radice ennesima di indice dispari è sempre definita (per qualsiasi radicando positivo, negativo o nullo), per cui, per risolvere le disequazioni date, basta elevare ad $n$ entrambi i membri delle disuguaglianze e risolvere la disequazione razionale che si ottiene:
$$A(x)>[B(x)]^n\quad\quad\mbox{o analogamente}\quad\quad A(x) < [B(x)]^n$$
Esempio di disequazione con radici di ordine dispari
Risolvere la disequazione $$\sqrt[3]{x^3+3x^2-x-27} < x-3$$Il radicale di indice dispari è definito per ogni valore di $x$ e la disequazione è equivalente a quella che si ottiene elevando al cubo entrambi i suoi membri. Abbiamo quindi:
$$x^3+3x^2-x-27 < (x-3)^3$$
Svolgendo le operazioni indicate e riducendo i termini simili (verificarlo per esercizio) abbiamo poi: $$12x^2-28x < 0\quad\Rightarrow\quad 0 < x < \frac{7}{3}$$
Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice pari
Per affrontare la risoluzione di questi tipi di disequazioni dobbiamo distinguere due diversi casi, a secondo che il verso della disequazione sia $<$ o $>$.
Disequazione con verso $>$
Supponiamo di voler risolvere
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{A(x)}>B(x)}$$
con $n$ numero intero positivo pari.
Per prima cosa osserviamo che bisogna imporre la condizione di esistenza di una radice di indice pari:
$$A(x)\ge 0$$
dato che tali radici non esistono per radicandi negativi.
Se poi $B(x)\ge 0$ la disequazione di partenza sarà equivalente a quella che si ottiene elevando ad $n$ entrambi i membri della disequazione:
$$A(x)>[B(x)]^n$$
Se, invece, $B(x)< 0$ la disequazione è certamente verificata perchè avremmo una quantità positiva o nulla ($\sqrt[n]{A(x)}$) maggiore di una quantità negativa ($B(x)$).
Si conclude così che sono soluzioni della disequazione irrazionale proposta tutte e sole le soluzioni dell'unione dei due sistemi seguente:
$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x) > [B(x)]^n \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x) < 0 \end{array}\right.$$
Esempio di disequazione con radici di ordine pari e verso $>$
Risolvere la disequazione $$\sqrt{x+4} > x-1$$La disequazione è equivalente ai due sistemi
$$\left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x+4 > (x-1)^2 \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ x-1 < 0 \end{array}\right.$$
Risolviamo il primo sistema:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ x+4 > x^2-2x+1 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ x^2-3x-3 < 0 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ \frac{3-\sqrt{21}}{2}< x < \frac{3+\sqrt{21}}{2} \end{array}\right.$$
Troviamo la soluzione del sistema graficando le soluzioni sulla retta reale:
Risolviamo il secondo sistema:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x < 1 \end{array}\right.$$ 
Unendo le due soluzioni trovate, la disequazione proposta è dunque soddisfatta per
$$-4\le x< \frac{3+\sqrt{21}}{2}$$
Disequazione con verso $<$
Sia da risolvere la disequazione
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{A(x)}< B(x)}$$
con $n$ pari.
Anche in questo caso deve essere
$$A(x)\ge 0$$
Visto che $\sqrt[n]{A(x)}\ge 0$, affichè possa essere verificata la disequazione proposta dovrà necessariamente essere
$$B(x)\ge 0$$
A questo punto, essendo positivi entrambi i membri della disequazione, posso elevarli alla $n$ ottenendo:
$$A(x)< [B(x)]^n$$
Concludiamo dunque che sono soluzioni della disequazione irrazionale data tutte e sole le soluzioni del sistema
$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x) < [B(x)]^n \end{array}\right.$$
Esempio di disequazioni con radici di indice pari e verso $<$
Risolvere la disequazione $$\sqrt{x^2-4x+3} < x+1$$La disequazione è equivalente al sistema
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-4x+3\ge 0 \\ x+1\ge 0 \\ x^2-4x+3 < (x+1)^2 \end{array}\right.$$
Risolviamo il sistema:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ x^2-4x+3 < x^2+2x+1 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ 6x-2 > 0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ x > \frac{1}{3} \end{array}\right.$$ 
Il sistema (e quindi anche la disequazione proposta) è soddisfatta per:
$$\frac{1}{3} < x \le 1\ \vee\ x\ge 3$$