Una disequazione si dice irrazionale quando l'incognita $x$ compare all'interno di una radice. Il procedimento risolutivo per tali tipi di disequazioni varia a seconda che l'indice della radice è pari o dispari. Per tale motivo, in questa lezione ti insegnerò a risolvere i seguenti tipi di disequazioni irrazionali presentandoti degli schemi che applico nella risoluzione di esercizi:
- Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice dispari
- Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice pari
- Disequazioni irrazionali con il verso maggiore
- Disequazioni irrazionali con il verso minore
Ti ricordo inoltre, la possibilità di accedere alla sezione degli esercizi sulle disequazioni irrazionali cliccando sul bottone "Vai agli esercizi" che trovi in fondo alla pagina.
Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice dispari
Consideriamo le seguenti disequazioni irrazionali:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{A(x)} > B(x)\quad\quad\mbox{o}\quad\quad \sqrt[n]{A(x)} < B(x)}$$
dove $A(x)$ e $B(x)$ rappresentano delle espressioni razionali della variabile $x$ ed $n$ un numero intero positivo dispari.
Osserviamo che la radice ennesima di indice dispari è sempre definita (per qualsiasi radicando positivo, negativo o nullo), per cui, per risolvere le disequazioni date, basta elevare ad $n$ entrambi i membri delle disuguaglianze e risolvere la disequazione razionale che si ottiene:
$$A(x)>[B(x)]^n\quad\quad\mbox{o analogamente}\quad\quad A(x) < [B(x)]^n$$
Risolvere la disequazione
$$\sqrt[3]{x^3+3x^2-x-27} < x-3$$Il radicale di indice dispari è definito per ogni valore di $x$ e la disequazione è equivalente a quella che si ottiene elevando al cubo entrambi i suoi membri. Abbiamo quindi:
$$x^3+3x^2-x-27 < (x-3)^3$$
Svolgendo le operazioni indicate e riducendo i termini simili (verificarlo per esercizio) abbiamo poi: $$12x^2-28x < 0\quad\Rightarrow\quad 0 < x < \frac{7}{3}$$
Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice pari
Per affrontare la risoluzione di questi tipi di disequazioni dobbiamo distinguere due diversi casi, a secondo che il verso della disequazione sia $<$ o $>$.
Disequazione con il verso maggiore
Supponiamo di voler risolvere
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{A(x)}>B(x)}$$
con $n$ numero intero positivo pari.
Per prima cosa osserviamo che bisogna imporre la condizione di esistenza di una radice di indice pari:
$$A(x)\ge 0$$
dato che tali radici non esistono per radicandi negativi.
Se poi $B(x)\ge 0$ la disequazione di partenza sarà equivalente a quella che si ottiene elevando ad $n$ entrambi i membri della disequazione:
$$A(x)>[B(x)]^n$$
Se, invece, $B(x)< 0$ la disequazione è certamente verificata perchè avremmo una quantità positiva o nulla ($\sqrt[n]{A(x)}$) maggiore di una quantità negativa ($B(x)$).
Si conclude così che sono soluzioni della disequazione irrazionale proposta tutte e sole le soluzioni dell'unione dei due sistemi seguente:
$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x) > [B(x)]^n \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x) < 0 \end{array}\right.$$
Risolvere la disequazione
$$\sqrt{x+4} > x-1$$La disequazione è equivalente ai due sistemi
$$\left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x+4 > (x-1)^2 \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ x-1 < 0 \end{array}\right.$$
Risolviamo il primo sistema:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ x+4 > x^2-2x+1 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ x^2-3x-3 < 0 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ \frac{3-\sqrt{21}}{2}< x < \frac{3+\sqrt{21}}{2} \end{array}\right.$$
Troviamo la soluzione del sistema graficando le soluzioni sulla retta reale:
Risolviamo il secondo sistema:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x < 1 \end{array}\right.$$ 
Unendo le due soluzioni trovate, la disequazione proposta è dunque soddisfatta per
$$-4\le x< \frac{3+\sqrt{21}}{2}$$
Disequazione con il verso minore
Sia da risolvere la disequazione
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{A(x)}< B(x)}$$
con $n$ pari.
Anche in questo caso deve essere
$$A(x)\ge 0$$
Visto che $\sqrt[n]{A(x)}\ge 0$, affichè possa essere verificata la disequazione proposta dovrà necessariamente essere
$$B(x)\ge 0$$
A questo punto, essendo positivi entrambi i membri della disequazione, posso elevarli alla $n$ ottenendo:
$$A(x)< [B(x)]^n$$
Concludiamo dunque che sono soluzioni della disequazione irrazionale data tutte e sole le soluzioni del sistema
$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x) < [B(x)]^n \end{array}\right.$$
Risolvere la disequazione
$$\sqrt{x^2-4x+3} < x+1$$La disequazione è equivalente al sistema
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-4x+3\ge 0 \\ x+1\ge 0 \\ x^2-4x+3 < (x+1)^2 \end{array}\right.$$
Risolviamo il sistema:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ x^2-4x+3 < x^2+2x+1 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ 6x-2 > 0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ x > \frac{1}{3} \end{array}\right.$$
Il sistema (e quindi anche la disequazione proposta) è soddisfatta per:
$$\frac{1}{3} < x \le 1\ \vee\ x\ge 3$$
