Se $a$ è un numero positivo diverso da $1$ l'espressione $\log_a{x}$ (con $x>0$) varia al variare di $x$; posto $y=\log_a x$, si ottiene una funzione che viene detta funzione logaritmica.
Così come abbiamo fatto per la funzione esponenziale, per individuare le caratteristiche della funzione logaritmica ci limitiamo a rappresentarla graficamente per punti nel piano cartesiano, distinguendo i due casi $a>1$ e $0 < a < 1$. Nella figura qui in basso è rappresentata
Nella figura seguente, invece, la funzione $y=\log_{\frac{1}{2}}x$.
Tutte le funzioni logaritmiche $y=\log_a x$ che hanno la base $a$ maggiore di $1$ hanno l'andamento della prima figura (sono crescenti, sono negative per $0 < x < 1$ e positive per $x>1$, tendono a $-\infty$ per $x$ tendente a $0$ e a $+\infty$ per $x$ tendente a $+\infty$); tutte quelle che hanno la base $a$ compresa tra $0$ e $1$ hanno l'andamento della seconda figura (sono decrescenti, sono positive per $0 < x < 1$ e negative per $x>1$, tendono a $+\infty$ per $x$ tendente a $0$ e a $-\infty$ per $x$ tendente a $+\infty$).
Dominio del logaritmo
- Il $\log_3{x-5}$ esiste se e solo se: $\quad x-5>0$ ossia se $x>5$.
- Il $\log_{10}{16-x^2}$ esiste se e solo se: $\quad 16-x^2>0$ ossia se $-4 < x < 4$.
- Il $\log_{x}{3-x}$ esiste se e solo se: $\quad \left\{ \begin{array}{l} 3-x>0\\ x>0\\ x\neq 1\end{array}\right.\quad$ ossia se $0 < x < 1\ \vee\ 1 < x < 3$.