Le potenze

Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali. Per esempio, $2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$.

Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione: la potenza: $2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$ si scrive $2^7$ (si legge $2$ alla settima). Il numero $2$ è la base e il numero $7$ è l'esponente della potenza.

Dunque, se l'esponente è maggiore di $1$, la potenza è il prodotto di tanti fattori, quanti vengono indicati dall'esponente, tutti uguali alla base.

Osserviamo che, qualunque numero elevato a $1$ dà come risultato se stesso:

$$2^1=2\quad\quad 1999^1=1999\quad\quad 1^1=1\quad\quad 0^1=0$$

Inoltre, ogni numero naturale, diverso da $0$, elevato a $0$ è uguale a $1$:

$$2^0=1\quad\quad 1999^0=1\quad\quad 1^0=1$$

Non viene invece definita la potenza con base ed esponente $0$; $0^0$ non ha significato!!

Le proprietà delle potenze

1. Prodotto di potenze di uguale base:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n\cdot a^m=a^{n+m}}$$

1. Quoziente di potenze di uguale base:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n: a^m=a^{n-m}\quad\quad\mbox{con } m\ge n,\quad a\neq 0}$$

1. Potenza di una potenza:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(a^n)^m=a^{n\cdot m}}$$

1. Prodotto di potenze di uguale esponente:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n\cdot b^n=(ab)^n}$$

1. Quoziente di potenze di uguale esponente:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n: b^n=(a:b)^n\quad\quad b\neq 0}$$

Riportiamo qui di seguito alcuni esempi di calcolo di potenze sfruttando le proprietà appena enunciate:

Le espressioni con le potenze

In una espressione , le operazioni devono essere svolte in questo ordine: