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Le potenze

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Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali. Per esempio, $2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$.

Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione: la potenza: $2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$ si scrive $2^7$ (si legge $2$ alla settima). Il numero $2$ è la base e il numero $7$ è l'esponente della potenza.

Dunque, se l'esponente è maggiore di $1$, la potenza è il prodotto di tanti fattori, quanti vengono indicati dall'esponente, tutti uguali alla base.

Osserviamo che, qualunque numero elevato a $1$ dà come risultato se stesso:

$$2^1=2\quad\quad 1999^1=1999\quad\quad 1^1=1\quad\quad 0^1=0$$

Inoltre, ogni numero naturale, diverso da $0$, elevato a $0$ è uguale a $1$:

$$2^0=1\quad\quad 1999^0=1\quad\quad 1^0=1$$

Non viene invece definita la potenza con base ed esponente $0$; $0^0$ non ha significato!!

 

Le proprietà delle potenze

  1. Prodotto di potenze di uguale base: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n\cdot a^m=a^{n+m}}$$
  2. Quoziente di potenze di uguale base: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n: a^m=a^{n-m}\quad\quad\mbox{con } m\ge n,\quad a\neq 0}$$
  3. Potenza di una potenza: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(a^n)^m=a^{n\cdot m}}$$
  4. Prodotto di potenze di uguale esponente: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n\cdot b^n=(ab)^n}$$
  5. Quoziente di potenze di uguale esponente: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{a^n: b^n=(a:b)^n\quad\quad b\neq 0}$$

Riportiamo qui di seguito alcuni esempi di calcolo di potenze sfruttando le proprietà appena enunciate:

 

Esempi

  1. $\left.\begin{array}{l} 5^3\cdot 5^1=5^{3+1}=5^4;\\ 6^4\cdot 6^0=6^{4+0}=6^4;\\ 3^2\cdot 3^5=3^{2+5}=3^7.\end{array}\right\}$ Per la proprietà 1
  2. $\left.\begin{array}{l} 4^7: 4^3=4^{7-3}=4^4;\\ 7^4:7=7^{4-1}=7^3.\end{array}\right\}$ Per la proprietà 2
  3. $\left.\begin{array}{l} (4^2)^3=4^{2\cdot 3}=4^6;\\ (5^3)^1=5^{3\cdot 1}=5^3;\\ (3^5)^0=3^{5\cdot 0}=3^0=1.\end{array}\right\}$ (per la proprietà 3)
  4. $4^2\cdot 6^2=(4\cdot 6)^2=24^2.$ (per la proprietà 4)
  5. $12^2: 4^2=(12:4)^2=3^2=9.$ (per la proprietà 5)

 

Le espressioni con le potenze

In una espressione , le operazioni devono essere svolte in questo ordine:

  1. elevamento a potenza.
  2. moltiplicazione o divisione.
  3. somme e sottrazioni.

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