Un trapezio isoscele, con la diagonale perpendicolare al lato obliquo, ha le misure delle basi lunghe rispettivamente $25 cm$ e $7 cm$; sapendo che il trapezio costituisce la base di un prisma retto che ha la superficie totale di $973 cm^2$, calcola la misura dell'altezza del prisma.
Qui di seguito il prisma retto in questione:
DATI
$$\begin{eqnarray*} \overline{EF} &=& 25cm\\ \overline{HG} &=& 7cm\\ S_t &=& 973cm^2\end{eqnarray*}$$
L'altezza di un prisma retto è dato dal rapporto tra la sua superficie laterale $S_l$ e il perimetro di base $P$: $$h=\overline{FB}=\frac{S_l}{P}\qquad (\star)$$
Troviamo dapprima il perimetro $P$ ragionando sul trapezio di base EFGH.
Dopo aver trovato $\overline{KF}$: $$\overline{KF}=\frac{\overline{EF}-\overline{HG}}{2}=\frac{25-7}{2}=9cm$$ e $\overline{EK}$: $$\overline{EK}=\overline{EF}-\overline{KF}=25-9=16cm$$ possiamo applicare il secondo Teorema di Euclide al triangolo rettangolo EFG per trovare l'altezza $\overline{GK}$ del trapezio isoscele; $$\overline{GK}^2=\overline{EK}\cdot\overline{KF}$$ ossia $$\overline{GK}=\sqrt{\overline{EK}\cdot\overline{KF}}=\sqrt{16\cdot 9}=12cm$$
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo KFG, troviamo il lato obliquo $\overline{GF}$ del trapezio di base: $$\overline{GF}=\sqrt{\overline{GK}^2+\overline{KF}^2}=\sqrt{144+81}=15cm$$
Dunque il perimetro di base è: $$P=\overline{EF}+\overline{HG}+2\overline{GF}=25+7+2\cdot 15=62cm$$
Trovato $P$, per poter applicare la $(\star)$, ci serve la superficie laterale $S_l$ che possiamo calcolare dopo aver determinato la superficie di base del prisma (area del trapezio): $$S_b=\frac{(\overline{EF}+\overline{HG})\cdot \overline{GK}}{2}=\frac{(25+7)\cdot 12}{2}=192cm^2$$
La supercie laterale di un prisma retto è data dalla differenza tra la superficie totale e il doppio della superficie di base: $$S_l=S_t-2S_b=973-2\cdot 192=589cm^2$$
Applicando la $(\star)$, otteniamo l'altezza richiesta: $$h=\overline{FB}=\frac{589}{62}=9.5cm$$
