Il logaritmo di $a$ in base $b$ (in simboli $\log_b a$) è quel numero che se messo a esponente alla base $b$ ritorna l'argomento $a$. Equivalentemente, in matematichese diciamo che $\log_b a$ è quel numero $x$ tale che $$b^x=a$$
È chiaro allora che per calcolare i logaritmi è necessario risolvere un'equazione esponenziale. Ti ho parlato degli esponenziali in questa lezione e delle equazioni esponenziali in quest'altra. Fai click sui link per consultare la lezione.
Come già detto i numeri $a$ e $b$ vengono rispettivamente chiamati base e argomento del logaritmo e devono essere entrambi positivi e inoltre $b\neq 1$. Ma perché? Te lo spiego più avanti, per adesso continua la lettura!
I logaritmi rappresentano un argomento di algebra molto importante perché ampiamente utilizzato in molti sistemi informatici ed elettronici.
Calcolo di logaritmi mediante la definizione
Alcuni logaritmi si possono calcolare semplicemente utilizzando la definizione suddetta. Ecco alcuni esempi:
$$\log_2{32}$$
Che esponente devo mettere al 2 per ottenere 32. Risposta: 5. Infatti, $2^5=32$. Allora, posso dire che $$\log_2{32}=5$$
$$\log_{\frac{2}{3}}{\frac{8}{27}}$$
Che esponente devo mettere a 2/3 per ottenere 8/27. Risposta: 3. Infatti, $(2/3)^3=8/27$. Quindi, posso dire che $$\log_{\frac{2}{3}}{\frac{8}{27}}=3$$
Adesso puoi capire perché il logaritmo è definito e lo posso calcolare solo quando l'argomento è strettamente maggiore di 0 e la base è maggiore di 0 e diversa da 1. Ad esempio, non ha senso (non esiste) $\log_{2} (-4)$ perché non esiste nessun numero reale $x$ tale che $(2)^x=-4$ dato che un esponenziale non può mai essere uguale a un numero negativo. Non esiste nemmeno $\log_{1} 5$ perché non esiste un numero reale $x$ tale che $1^x= 5$, infatti 1 elevato a qualsiasi numero fa sempre 1.
Nel video che vedi più sotto ti mostro come calcolare alcuni dei logaritmi seguenti utilizzando la definizione.
- $\log_3{81}=4$
- $\log_{10}{100}=2$
- $\log_{2}{\frac{1}{8}}=-3$
- $\log_{5}{\frac{1}{5}}=-1$
- $\log_{\frac{2}{3}}{\frac{9}{4}}=-2$
- $\log_{0,8}{0,8}=1$
- $\log_{3}{1}=0$
- $\log_{8}{2}=\frac{1}{3}$
- $\log_{4}{8}=\frac{3}{2}$
- $\log_{9}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{2}$
Calcolo di logaritmi mediante la calcolatrice
Tuttavia non è sempre possibile calcolare mentalmente il valore esatto di un logaritmo. Ad esempio, il $\log_{10}325$, il $\log_{5}754$, il $\log_{0,3}8$, ecc.; i valori di questi logaritmi sono calcolabili mediante procedimenti che ti ho illustrato qui. Nel caso in cui la base del logaritmo non è tra quelle presenti nella calcolatrice (ovvero base $10$ e base $e$), puoi utilizzare preventivamente la formula del cambio base in modo da trasformare il logaritmo in questione in una delle due basi suddette.
Proprietà dei logaritmi
I logaritmi godono di alcune proprietà utili in molte situazioni, soprattutto quando bisogna semplificare espressioni logaritmiche:
- Il logaritmo di 1 in qualsiasi base (purché maggiore di 0 e diversa da 1) è 0:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_b 1=0\quad\forall b>0,\ b\neq 1}$$
- Il logaritmo la cui base coincide con l'argomento è uguale a 1:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_a a=1\quad\forall a>0,\ a\neq 1}$$
- Il logaritmo del prodotto di due termini è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli termini:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_b(a\cdot c)=\log_b a+\log_b c}$$
- Il logaritmo del rapporto di due termini è uguale alla differenza tra il logaritmo del termine al numeratore e il logaritmo del termine al denominatore, cioè:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_b\frac{a}{c}=\log_b a-\log_b c}$$
- Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell'esponente della potenza per il logaritmo della base della potenza, cioè:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_b a^c=c\cdot\log_b a}$$
- Il logaritmo in base $b$ di un numero $a$ diverso da $1$, è uguale al reciproco (o inverso) del logaritmo in base $a$ del numero $b$, cioè:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_b a=\frac{1}{\log_a b}}$$
- Proprietà del cambio di base: Il logaritmo in base $b$ di un numero $a$ è uguale al rapporto tra il logaritmo del numero $a$ in un'altra base $c$ e il logaritmo di $b$ in base $c$, cioè:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}}$$
- Un numero positivo $b$ e diverso da 1 elevato a logaritmo in base $b$ di un altro numero $a$ è uguale all'argomento $a$ del logaritmo, in formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{b^{\log_b a}=a}$$
- $\log_a(2^5\cdot 3)=\log_a 2^5+\log_a 3=5\log_a 2+\log_a 3$.
- $\log_a\sqrt[3]{\frac{7}{5}}=\log_a\left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\log_a\frac{7}{5}=\frac{1}{3}(\log_a 7-\log_a 5)$.
- $\log_2 8=\frac{1}{\log_8 2}\quad (\mbox{infatti } \log_2 8=3 \mbox{ e } \log_8 2=\frac{1}{3})$.
- $\log_6 25=\frac{\log_{10} 25}{\log_{10} 6}$.
- $2\log_2{10}+\log_2 80-3\log_2 5=\log_2 10^2+\log_2 80-\log_2 5^3=\log_2 \frac{10^2\cdot 80}{5^3}=\log_2 64=6$.
- $\log_2\frac{x(8-x)}{(x+1)^2}=\log_3 x+\log_3 (8-x)-2\log_3 (x+1)$. $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{(con } x>0,\quad x < 8,\quad x >-1\quad\mbox{e quindi } 0 < x < 8)$.
Logaritmi decimali e logaritmi naturali
Tra tutti i logaritmi assumono particolare importanza quello in base $10$, che viene comunemente chiamato logaritmo decimale o di Briggs (e si indica con $\log$), e quello in base $e$, che viene comunemente detto logaritmo naturale o di Nepero e si indica con $\ln$ dove $e$ è un numero irrazionale che ha il seguente valore approssimato:
$$e=2,718281828$$
