Tra le equazioni più ostiche della matematica ci sono sicuramente quelle con il valore assoluto. Leggendo questo articolo imparerai a risolvere equazioni in cui:
Equazioni con un solo valore assoluto
Vuoi subito vedere come svolgere equazioni con un solo valore assoluto? Guarda il video qui in basso altrimenti continua a leggere.
Indico con $A(x)$ o $B(x)$ quantità che contengono l'incognita $x$, mentre con A oppure B indico numeri o termini costanti.
Quando è presente un solo valore assoluto si possono presentare queste due situazioni:
- l'equazione è del tipo $|A(x)|=B$ dove B è numero negativo
- l'equazione è del tipo $|A(x)|=B$ dove B è numero positivo
- l'equazione è del tipo $|A(x)|=0$
- l'equazione è del tipo $|A(x)|=B(x)$
Nel caso a) l'equazione non ha soluzioni perché un valore assoluto, per definizione, non può mai essere uguale a un numero negativo.
Esempio
$$|x+1|=-3$$
Come detto sopra, tale equazione non ha radici perché il primo membro è una quantità sempre maggiore o uguale a zero mentre il secondo membro è una quantità negativa.
Nel caso b) le soluzioni dell'equazione le ottengo togliendo il valore assoluto e risolvendo:
- $A(x)=B$
- $A(x)=-B$
Esempio
$$|2x+1|=4$$
Questa ha due soluzioni che trovo risolvendo le seguenti equazioni:
$$\begin{array}{l}2x+1=-4\\2x+1=4\end{array}$$
da cui ottengo:
$$\begin{array}{l}x=-\cfrac{5}{2}\\x=\cfrac{3}{2}\end{array}$$
Nel caso c) invece le soluzioni le trovo imponendo la quantità che sta dentro il valore assoluto uguale a zero, ossia: $$A(x)=0$$. Infatti, un valore assoluto si annulla solo quando la quantità all'interno si annulla.
$$|x^2-4|=0$$
Si risolve scrivendo: $$\begin{array}{l}x^2-4=0\\x^2=4\\ x=\pm 2\end{array}$$
L'ultima tipologia di equazione con un unico valore assoluto è rappresentato dal caso d), ossia quello in cui fuori dal valore assoluto compaiono termini con l'incognita $x$ ($|A(x)|=B(x)$). In generale, per trovare le soluzioni si risolvono i seguenti sistemi e se ne fa l'unione delle rispettive soluzioni:
$$\begin{cases}A(x)\geq 0\\A(x)=B(x)\end{cases}\quad\vee\quad \begin{cases}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{cases}$$
$$|2x-3|-3x=0$$
Scrivo i due sistemi:
$$\begin{cases}2x-3\geq 0\\2x-3-3x=0\end{cases}\quad\vee\quad \begin{cases}2x-3 < 0\\-(2x-3)-3x=0\end{cases}$$
Risolvendo ottengo:
$$\begin{cases}x\geq \cfrac{3}{2}\\x=-3\end{cases}\quad\vee\quad \begin{cases}x < \cfrac{3}{2}\\x=\cfrac{3}{5}\end{cases}$$
Adesso osserva che il primo sistema è impossibile perché -3 non è maggiore di 3/2, mentre nel secondo la soluzione $x=\cfrac{3}{5}$ è minore di $\cfrac{3}{2}$, quindi accettabile. La soluzione della disequazione è quindi $x=\cfrac{3}{5}$.
Equazioni con due valori assoluti
Quando un'equazione contiene due valori assoluti $|A(x)|$ e $|B(x)|$, i casi da studiare raddoppiano e sono:
- $A(x)\geq 0$, $B(x)\geq 0$
- $A(x)\geq 0$, $B(x)<0$
- $A(x)<0$, $B(x)\geq 0$
- $A(x)<0$, $B(x)<0$
Ti rimando al seguente video YouTube in cui ti ho svolto degli esercizi in merito.
Equazioni con tre o più valori assoluti
Quando in un'equazione compaiono tre o più valori assoluti, non conviene studiare singolarmente i vari casi ma conviene studiare il segno delle singole quantità che stanno dentro il valore assoluto. Ti ho mostrato un esempio nel video che pubblicherò a breve.