Disequazioni logaritmiche risolte

Determiniamo le condizioni di esistenza della funzione logaritmica ponendo l'argomento del log maggiore di 0. Se non ricordi come si risolvono le disequazioni di secondo grado clicca qui per ripassarle.

$$\begin{array}{l} 4x-x^2>0\quad\Rightarrow\quad x^2-4x < 0\\ x(x-4)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\ x=4\end{array}$$

Pertando le C.E. sono $0 < x < 4$.

La disequazione proposta si risolve ponendo entrambi i fattori moltiplicativi maggiori di 0:

1. $x^2-3x+2>0$
2. $\log(4x-x^2)>0$

La 1) si risolve trovando le soluzioni dell'equazione associata:

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
Si ottengono così due radici dall'equazione associata: $x=1,\ x=2$. Pertanto le soluzioni della disequazione 1) sono i valori esterni: $x<1\ \vee\ x>2$.

Risolviamo la 2) riscrivendo lo zero a secondo membro come $\log 1$ e risolvendo:

$$\begin{array}{l}
\log(4x-x^2)>\log 1\\
4x-x^2-1>0\\
x^2-4x+1 < 0\end{array}$$

Risolvendo l'equazione associata a quest'ultima disequazione si ottiene $x=2\pm\sqrt{4-1}=2\pm\sqrt{3}$. Dunque, le soluzioni della disequazione 2) sono i valori interni: $2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$.

Adesso, mettiamo a prodotto dei segni le soluzioni di 1) e 2) come mostra il seguente grafico:

Si ha, dunque, $2-\sqrt{3} < x < 1\ \vee\ 2 < x < 2+\sqrt{3}$. Di tale soluzione, dobbiamo prenderne solo la parte che soddisfa le C.E. inizialmente calcolate, ovvero bisogna svolgere il seguente sistema:

$$\begin{cases} 2-\sqrt{3} < x < 1\ \vee\ 2 < x < 2+\sqrt{3}\\ 0 < x < 4\end{cases}$$

il cui risultato è $0 < x < 1\ \vee\ 2 < x < 2+\sqrt{3}$.

Tale disequazione è equivalente al sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} \cfrac{8x-4}{x^2+x}>0\\ 1+\log_{\frac{1}{2}}\cfrac{8x-4}{x^2+x}>0\end{array}\right.$$

La prima è la condizione di esistenza del logaritmo ed è una disequazione fratta che si risolve ponendo numeratore e denominatore maggiori di 0:

$\begin{array}{l}
N:\ 8x-4>0\\
x>\cfrac{4}{8}\\
x>\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}
D:\ x^2+x>0\\
x(x+1)>0\\
x < -1\ \vee\ x>0\end{array}$

Facciamo il prodotto dei segni di queste due ultime disequazioni trovate:

Prendendo la parte positiva, la disequazione fratta è soddisfatta per:

$$-1 < x < 0\ \vee\ x >\frac{1}{2}$$

Risolviamo la seconda disequazione del sistema iniziale:

$$\begin{array}{l}
1+\log_{\frac{1}{2}}\cfrac{8x-4}{x^2+x}>0\\
\log_{\frac{1}{2}}\cfrac{8x-4}{x^2+x}>-1\\
\log_{\frac{1}{2}}\cfrac{8x-4}{x^2+x}>\log_{\frac{1}{2}}\left(\cfrac{1}{2}\right)^{-1}\\
\log_{\frac{1}{2}}\cfrac{8x-4}{x^2+x}>\log_{\frac{1}{2}}2\end{array}$$

A questo punto possiamo togliere i logaritmi ricordandoci che, quando la base è compresa tra $0$ e $1$, il verso della disequazione cambia:

$$\begin{array}{l}
\cfrac{8x-4}{x^2+x}<2\\
\cfrac{8x-4}{x^2+x}-2 < 0\\
\cfrac{8x-4-2x^2-2x}{x^2+x} < 0\\
\cfrac{-2x^2+6x-4}{x^2+x} < 0\end{array}$$

Risolviamo la disequazione fratta ottenuta, ossia:

$\cfrac{-2x^2+6x-4}{x^2+x} < 0$

$\begin{array}{l}
N:\ -2x^2+6x-4>0\\
x^2-3x+2 < 0\\
1 < x < 2\end{array}$

$\begin{array}{l}
D:\ x^2+x>0\\
x < -1\ \vee\ x>0\end{array}$

Prendendo la parte negativa del grafico, la seconda disequazione è soddisfatta per:

$$x < -1\ \vee\ 0 < x < 1\ \vee\ x > 2$$

Il sistema iniziale è così pronto per essere risolto:

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{8x-4}{x^2+x}>0\\ 1+\log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} -1 < x < 0\ \vee\ x >\frac{1}{2}\\ x < -1\ \vee\ 0 < x < 1\ \vee\ x > 2\end{array}\right.$$

La soluzione della disequazione iniziale è quindi:

$$\cfrac{1}{2} < x < 1\ \vee\ x > 2$$
Oppure analogamente si può scrivere: $$]1/2,1[\ \cup\ ]2,+\infty[$$