Esistono particolari disequazioni di grado superiore al primo che si possono risolvere in maniera immediata, compiendo un solo passaggio e senza utilizzare la formula del delta. In questa lezione capirai quali tipologie di disequazioni si possono risolvere in maniera immediata utilizzando due metodi:
- Metodo dello studio del segno
- Metodo della parabola
Le disequazioni che si prestano alla risoluzione immediata sono quelle in cui il primo membro è una quantità maggiore o uguale a zero, ossia del tipo:
- $ax^n+b>0$ con $a,b>0$ e $n$ pari (Esempi: $2x^2+3>0$, $3x^4+1>0$).
- $ax^n>0$ con $a>0$ e $n$ pari (Esempi: $2x^2>0$, $3x^4>0$).
- $(ax+b)^2>0$ con $a,b$ numeri qualsiasi (Esempi: $(x-1)^2>0$, $(2x+1)^2>0$).
Ti mostro alcuni esempi numerici che includono le 3 tipologie qui sopra risolvendo sia usando il metodo dello studio del segno che quello della parabola. Se preferisci puoi guardare anche i video che trovi sotto le spiegazioni scritte.
Risolvere le disequazioni immediate con lo studio del segno dei termini
Vediamo come risolvere rapidamente la seguente disequazione: $$2x^2+3>0$$
Qualsiasi disequazione puo' essere letta come una domanda. In questo caso la domanda e': per quali valori di $x$ $2x^2+3$ e' positivo?
Osserviamo il primo membro. Questo e' composto dal termine $2x^2$ che rappresenta una quantita' sempre positiva o nulla per qualsiasi numero reale sostituito al posto della $x$. Inoltre, 3 e' un numero positivo, dunque, sommando una quantita' $\geq 0$ a una $>0$, ottengo sempre (cioe' per ogni $x$ reale) un risultato positivo. Per tale motivo, la soluzione della disequazione data e' $$\forall x\in\mathbb{R}$$ Avendo capito il ragionamento, si possono ottenere facilmente le soluzioni delle disequazioni che differiscono da quella vista sopra per il verso e cioe':
- $2x^2+3\geq 0\ \rightarrow \ \forall x\in\mathbb{R}$
- $2x^2+3< 0\ \rightarrow \ \not\exists x\in\mathbb{R}$
- $2x^2+3\leq 0\ \rightarrow \ \not\exists x\in\mathbb{R}$
Risolviamo adesso una disequazione di tipo 2: $$3x^2>0$$
Leggendo la disequazione come una domanda mi sto chiedendo per quale valore di $x$ $3x^2$ risulta essere una quantita' positiva. Banalmente abbiamo che $3x^2$ e' maggiore o uguale a 0 $$\forall x\in\mathbb{R}$$ essendo un numero positivo moltiplicato per un quadrato. Con lo stesso ragionamento, possiamo ricavare le soluzioni delle altre disequazioni:
- $3x^2\geq 0\ \rightarrow \ \forall x\in\mathbb{R}$
- $3x^2< 0\ \rightarrow \ \not\exists x\in\mathbb{R}$
- $3x^2\leq 0\ \rightarrow \ x=0$$
Osserva che nell'ultima disequazione e' verificata solo l'uguaglianza $3x^2=0$, la quale e' soddisfatta per $x=0$.
Risolviamo adesso una disequazione di tipo 3: $$(x-1)^2>0$$
Ancora una volta, leggendo la disequazione come una domanda mi sto chiedendo per quale valore di $x$ il quadrato di $x-1$ risulta essere una quantita' positiva. In generale, una quantita' al quadrato e' sempre una quantita' maggiore o uguale a 0 come gia' osservato; in altre parole devo solo escludere quei valori di $x$ che annullano il quadrato, ossia $$\begin{array}{l}(x-1)^2\neq 0\\ x-1\neq 0\\ x\neq 1\end{array}$$. Con analoghi ragionamenti si trovano le radici delle altre disequazioni
- $(x-1)^2\geq 0\ \rightarrow \ \forall x\in\mathbb{R}$
- $(x-1)^2< 0\ \rightarrow \ \not\exists x\in\mathbb{R}$
- $(x-1)^2\leq 0\ \rightarrow \ x=1$$
A questo punto avrai notato che tipologie 2 e 3 si risolvono analogamente perche' al primo membro hanno solo un quadrato.
Osserva infine che le soluzioni delle disequazioni risolte sarebbero state le stesse nel caso in cui la $x$ che compare al primo membro e' elevata a un numero pari, cioe' $x^4$, $x^6$, ecc.
Risolvere le disequazioni immediate con il metodo della parabola
Vediamo adesso come risolvere le tre tipologie di disequazioni sopra menzionate considerando pero' solo quelle di secondo grado. In questo caso, un altro metodo valido e' quello della parabola.
$$2x^2+3>0$$
$2x^2+3$ e' una parabola che volge la concavita' verso l'alto e il delta dell'equazione associata e' negativo. Questo ci dive che il grafico della parabola giace sopra l'asse $x$ e che quindi e'positivo per ogni $x$ appartenente ai reali.
$$3x^2>0$$
$3x^2$ e' una parabola che volge al concavita' verso l'alto ma il suo delta stavolta e' zero. Allora il suo grafico e' tangente all'asse $x$ (il punto di tangenza e' proprio il suo vertice che si trova in $(0,0)$. Dunque, $3x^2$ e' maggiore di 0 o cio' che lo stesso la parabola e' positiva per tutti i numeri reali eccetto $x=0$. In altre parole la soluzione e' $x\neq 0$
$$(x-1)^2>0$$
$(x-1)^2$ e' una parabola che volge al concavita' verso l'alto e il suo delta e' zero. Allora il suo grafico e' come quello dell'esempio 2 ma il punto di tangenza stavolta si trova in $(1,0)$. Dunque la soluzione e' $x\neq 1$
Se vuoi approfondire la risoluzione delle disequazioni di secondo grado mediante il metodo della parabola guarda il video seguente.
