Webtudordimatematica
Esercizi svolti sulle serie numeriche

Esercizi svolti con il criterio di condensazione

Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare...

Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$$

Esercizio 1

La condizione sufficiente affinchè la serie possa convergere è banalmente soddisfatta:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}=0$$

Per determinare il carattere della serie data, è necessario usare il criterio di condensazione di Cauchy. Per poterlo applicare, verifichiamo che il termine generale della serie sia non crescente, ovvero:

$$a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb N\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}\le\frac{1}{n\ln^2n}\quad\forall n\in\mathbb N$$

Banalmente vera per ogni n naturale.

Possiamo studiare il carattere della serie $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}$, ossia:

$$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^n\frac{1}{2^n\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2\ln^2 2}=\frac{1}{\ln^22}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$

Poichè quest'ultima serie è la serie armonica con esponente 2 che è convergente, per il criterio di condensazione di Cauchy, anche la serie di partenza converge.

L'esercizio non è chiaro?

Altri esercizi di matematica

10.000 esercizi
formazione completa

Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare

Leggi tutto

Statistica
Video corsi

Video corso R per ricercatori e professionisti

Leggi tutto
Il quaderno degli appunti
Statistica e Probabilità

Indice di connessione di Mortara

L'indice di Mortara è un indice utilizzato per misurare il grado di connessione o associazione tra due variabili X e Y qualitative nominali o categor
Statistica e Probabilità

Indice di connessione Chi-quadrato

Il Chi-quadrato è l'indice di connessione più utilizzato in statistica per valutare l'associazione tra due variabili categoriali o qualitative. Ad
Statistica e Probabilità

Indice V di Cramer

L'indice di Cramer è un indice di connessione normalizzato usato per stabilire il grado di associazione tra due variabili qualitative nominali X eY.