Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{2^n}$$
La condizione sufficiente affinchè una serie possa convergere è banalmente verificata:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2}{2^n}=0$$
Per determinare il carattere della serie, applichiamo il criterio del rapporto:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\frac{2^n}{n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}\frac{1}{2}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}<1$$
Per il criterio del rapporto la serie converge.
Osserviamo che potevamo usare anche il criterio della radice per determinare il carattere della serie. Provarlo per esercizio.
