Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{2^n}$$
La condizione sufficiente affinchè una serie possa convergere è banalmente verificata:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2}{2^n}=0$$
Per determinare il carattere della serie, applichiamo il criterio del rapporto:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\frac{2^n}{n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}\frac{1}{2}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}<1$$
Per il criterio del rapporto la serie converge.
Osserviamo che potevamo usare anche il criterio della radice per determinare il carattere della serie. Provarlo per esercizio.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
