Individua il centro di simmetria della curva di equazione $xy-2x+y+1$.
Il centro di simmetria $C(x_M,y_M)$, deve soddisfare le equazioni cartesiane di una simmetria centrale:
$$\begin{cases} x'=2x_M-x\\ y'=2y_M-y\end{cases}$$
che possono essere riscrette per comodità nel seguente modo:
$$\begin{cases} x=2x_M-x'\\ y=2y_M-y'\end{cases}$$
dove $(x',y')$ sono coordinate di punti appartenenti alla curva data.
Sostituendo le espressioni di $x$ e $y$ alla curva data otteniamo:
$$(2x_M-x')(2y_M-y')-2(2x_M-x')+2y_M-y'+1=0$$
e sopprimendo gli apici
$$(2x_M-x)(2y_M-y)-2(2x_M-x)+2y_M-y+1=0$$
Svolgiamo i calcoli e raggruppiamo i termini con parte letterale $xy$, $x$, $y$ e i termini noti:
$$\begin{array}{l} 4x_My_M-2x_My-2xy_M+xy-4x_M+2x+2y_M-y+1=0\\ xy+(-2y_M+2)x+(-2x_M-1)y+4x_My_M-4x_M+2y_M+1=0\end{array}$$
Dovendo la curva originale e quella trasformata coincidere, deve essere:
$$\begin{cases} -2y_M+2=-2\\ -2x_M-1=1\\ 4x_My_M-4x_M+2y_M+1=1\end{cases}$$
che ha soluzioni $(x_M,y_M)=(-1,2)$.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
