Un'equazione logaritmica è un'uguaglianza in cui l'incognita compare nella base o nell'argomento del logaritmo.
In genere, per risolvere un'equazione logaritmica si fa in modo che in entrambi i membri compaiano due logaritmi con la stessa base, ovvero si cerca di ottenere un'uguaglianza nella forma:
$$\log_b A=\log_b B$$
dove gli argomenti A e B devono essere posti maggiori di zero per soddisfare le condizioni di esistenza dei logaritmi, quindi bisogna risolvere il sistema $$\begin{cases}\log_b A=\log_b B\\ A>0\\ B>0\end{cases}$$
Per risolvere l'equazione presente nel sistema posso cancellare i log e riscrivere gli argomenti ottenendo: $A=B$. Questa è un'equazione che non contiene logaritmi e quindi risolvibile con i metodi che hai studiato precedentemente. Adesso ti mostro alcuni esempi svolti sulle varie tipologie di equazioni logaritmiche cosicché saprai come approcciarti in qualsiasi caso.
Equazioni con un solo logaritmo contenente l'incognita
Nel caso in cui l'equazione presenta un solo logaritmo al primo membro e un termine noto, bisogna far apparire un altro logaritmo con la stessa base al secondo membro. Leggi l'esempio qui sotto.
$\log_3(x^2+2x)=1$
La condizione di esistenza del logaritmo è $x^2+2x>0$ che ha soluzione $x<-2\ \vee\ x>0$ (vedi le disequazioni di secondo grado se vuoi ripassare)
Inoltre, ai fini della risoluzione vera e propria della disequazione, devi far comparire un logaritmo in base 3 al secondo membro moltiplicando per $\log_3 3$:
$$\log_3(x^2+2x)=1\cdot\log_3 3$$
Infatti, ti faccio notare che non stai cambiando il valore del secondo membro perché $\log_3 3$ vale 1 per definizione di logaritmo. Puoi così cancellare i log, eguagliare gli argomenti e risolvere: $$\begin{array}{l}
\log_3(x^2+2x)=\log_3 3\\
x^2+2x-3=0\\
x=\cfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}\\
x=\cfrac{-2\pm 4}{2}\end{array}$$
Da quest'ultima vengono fuori le soluzioni $x=-3$ e $x=1$. A questo punto mettile a sistema con le C.E. calcolate inizialmente e seleziona solo quelle accettabili: $$\begin{cases}
x<-2\ \vee\ x>0\\
x=-3\\
x=1\end{cases}$$
Si vede subito, senza fare il grafico sulla retta reale, che entrambe $x=-3$ e $x=1$ sono soluzioni accettabili dato che, in particolare, -3 è minore di -2 e 1 è maggiore di 0.
Equazioni con due logaritmi contenenti l'incognita
Esempio
Risolvere l'equazione $$\log_2(x^2+x+1)+3=\log_2(8-x^2)$$Sono accettabili solo le soluzioni soddisfacenti entrambe le condizioni di esistenza dei logaritmi presenti:
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+x+1>0\\ 8-x^2>0\end{array}\right.$$
e quindi soddisfacenti la condizione $-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$.
Sostituendo al numero $3$ il $\log_2 8$ e procedendo poi come descritto nel precedente esempio si ottiene:
$$\log_2(x^2+x+1)+\log_2 8=\log_2(8-x^2)\quad\Rightarrow\quad \log_2 [8(x^2+x+1)]=\log_2(8-x^2)$$
ovvero:
$$8(x^2+x+1)=8-x^2$$
Le soluzioni di quest'ultima, che sono $x=0$ e $x=-\frac{8}{9}$, sono entrambe accettabili come soluzioni dell'equazione data perchè cadono nel campo di esistenza inizialmente calcolato ($-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$).
Equazioni con tre logaritmi contenenti l'incognita
Esempio
Risolvere l'equazione $$2\log(x-2)=\log(x+5)+\log x$$Prima di tutto imponi le condizioni di esistenza dei 3 log:
$$\left\{\begin{array}{l} x-2>0\\ x+5>0\\ x>0\end{array}\right.$$
e quindi valori maggiori di $2$. La condizione $x>2$ è perciò il campo di esistenza dei logaritmi presenti nell'equazione data, o, in altre parole, la condizione che debbono soddisfare le soluzioni dell'equazione data.
Applicando ai due membri dell'uguaglianza le proprietà dei logaritmi si ottiene l'equazione:
$$\log(x-2)^2=\log[(x+5)x]$$
e quindi, uguagliando gli argomenti dei due logaritmi, otteniamo:
$$(x-2)^2=(x+5)x$$
Risolvendo quest'ultima si ha $x=\frac{4}{9}$; poiché questo valore non soddisfa la condizione $x>2$ non è accettabile come soluzione dell'equazione proposta, che risulta pertanto essere impossibile.
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