Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}2^{\sqrt{n}-n}$$
La condizione sufficiente affinchè la serie possa convergere è verificata:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}2^{\sqrt{n}-n}=2^{-\infty}=\frac{1}{2^{+\infty}}=0$$
Per determinare il carattere della serie, vista la presenza di potenze ennesime, conviene usare il criterio della radice:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{2^{\sqrt{n}-n}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{2^{\sqrt{n}}}{2^n}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{\frac{\sqrt{n}}{n}}}{2}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{2}=\frac{1}{2} < 1$$
Per il criterio della radice la serie converge.
