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Esercizi sui numeri complessi

Potenze di numeri complessi

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Calcolare le potenze dei numeri complessi indicate:

  1. $(-1+i)^{10}$
  2. $(\sqrt{3}-i)^4$
Esercizio 1

Per calcolare la potenza con esponente superiore a 3 di un numero complesso, è necessario ricavarsi la forma trigonometrica della sua base.

In questo articolo, abbiamo abbiamo già visto che:

$$-1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$$ $$\sqrt{3}-i=2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\right)$$

Applichiamo la formula di De Moivre per calcolare rispettivamente la decima e la quarta potenza dei due numeri complessi:

$$\begin{array}{l} (-1+i)^{10} &=\left[\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)\right]^{10}=(\sqrt{2})^{10}\left(\cos 10\cdot\frac{3}{4}\pi+i\sin 10\cdot\frac{3}{4}\pi\right)=\\ &=2^5\left(\cos \frac{15}{2}\pi+i\sin \frac{15}{2}\pi\right)=32\left(\cos \frac{3}{2}\pi+i\sin \frac{3}{2}\pi\right)=-32i\end{array}$$ $$\begin{array}{l} (\sqrt{3}-i)^4 &=\left[2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\right)\right]^{4}=2^4\left(\cos 4\cdot\frac{11}{6}\pi+i\sin 4\cdot\frac{11}{6}\pi\right)=\\ &=16\left(\cos\frac{22}{3}\pi+i\sin\frac{22}{3}\pi\right)=16\left(\cos\frac{4}{3}\pi+i\sin\frac{4}{3}\pi\right)=\\ &=16\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-8-8\sqrt{3}i\end{array}$$

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