Qui ti illustrerò con diversi esempi come è possibile calcolare l'integrale di una funzione fratta, ossia composta da un numeratore e da un denominatore.
I metodi possibili sono:
Per adesso mi limito a presentare alcuni integrali risolti mediante i due metodi suddetti. A breve pubblicherò anche una teoria sull'integrazione per decomposizione o per fratti semplici in cui descriverò come agire in tutti i casi che si presentano, a seconda della forma della funzione integranda.
Di seguito i testi degli integrali risolti per fratti semplici con procedimento risolutivo annesso.
$$\int\frac{\arctan x}{x^2}\ dx$$
L'integrale si presenta come prodotto di due funzioni $\frac{1}{x^2}$ e $\arctan x$. La presenza di $\arctan x$ ci suggerisce l'integrazione per parti. Infatti, scegliendo come fattore finito $\frac{1}{x^2}$ (la cui primitiva è $-\frac{1}{x}$) e come fattore differenziale proprio $\arctan x$, otteniamo:
$$\int\frac{\arctan x}{x^2}\ dx=\int\frac{1}{x^2}\cdot \arctan x\ dx=-\frac{1}{x}\cdot \arctan x+\int \frac{1}{x}\frac{1}{1+x^2}\ dx$$
Quest'ultimo è un integrale di funzione razionale fratta risolvibile, dunque, con il metodo dei fratti semplici:
$$\frac{x}{1+x^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+x^2}=\frac{A+Ax^2+Bx^2+Cx}{x(1+x^2)}=\frac{(A+B)x^2+Cx+A}{x(1+x^2)}$$
Guardando il primo e l'ultimo membro della precedente serie di uguaglianze, per il principio d'identità dei polinomi, i coefficienti A, B, C devono soddisfare il seguente sistema:
$$\begin{cases} A+B=0\\ C=0\\ A=1\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} B=-1\\ C=0\\ A=1\end{cases}$$
Sostituendo i valori di A, B e C trovati, possiamo riscrivere l'ultimo integrale come segue:
$$\int\frac{x}{1+x^2}\ dx=\int\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{-x}{1+x^2}\ dx=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c$$
Infine, il risultato finale sarà:
$$-\frac{1}{x}\cdot \arctan x+\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c$$
$$\int\frac{\ln{x}}{x(\ln^2 x+\ln x-6)}\ dx$$
Si capisce immediatamente che al denominatore della funzione integranda appare un polinomio di secondo grado nell'incognita $\ln x$. Facendo dunque la seguente sostituzione:
$$t=\ln x\quad\quad\Rightarrow\quad\quad dt=\frac{1}{x}\ dx$$
l'integrale si semplifica ulteriormente. Infatti, grazie alla sostituzione appena fatta otteniamo:
$$\int\frac{\ln{x}}{x(\ln^2 x+\ln x-6)}\ dx= \int\frac{t}{t^2 +t-6}\ dt$$
A questo punto scomponendo il trinomio di secondo grado mediante la formula del delta si ha:
$$t^2 +t-6=(t-2)(t+3)$$
possiamo procedere con l'integrazione per fratti semplici:
$$\frac{t}{t^2 +t-6}=\frac{A}{t-2}+\frac{B}{t+3}=\frac{At+3A+Bt-2B}{t^2+t-6}=\frac{(A+B)t+3A-2B}{t^2+t-6}$$
Eguagliando primo e ultimo membro della precedente serie di uguaglianze, per il principio d'identità dei polinomi, i coefficienti A e B devono soddisfare il seguente sistema:
$$\begin{cases} A+B=1\\ 3A-2B=0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} A=1-B\\ 3(1-B)-2B=0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} A=1-B\\ 3-3B-2B=0\end{cases}$$
Da cui si ricava $A=\frac{2}{5}$ e $B=\frac{3}{5}$. L'integrale, così, risulta diviso in due integrali più semplici:
$$\int\frac{t}{t^2 +t-6}\ dt=\int\frac{\frac{2}{5}}{t-2}\ dt+\int\frac{\frac{3}{5}}{t+3}\ dt=\frac{2}{5}\ln|t-2|+\frac{3}{5}\ln|t+3|$$
$$\int\frac{\sin x}{\sin^2 x+\cos x-3}\ dx$$
Dalle formula fondamentale della trigonometria possiamo riscrivere il seno al quadrato in termini di coseno:
$$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$
Dunque, risulta:
$$\int\frac{\sin x}{\sin^2 x+\cos x-3}\ dx=\int\frac{\sin x}{1-\cos^2 x+\cos x-3}\ dx=-\int\frac{\sin x}{\cos^2 x-\cos x+2}\ dx$$
Facendo la seguente sostituzione
$$t=\cos x\quad\Rightarrow\quad dt=-\sin x\ dx$$
possiamo riscrivere l'integrale come segue:
$$-\int\frac{\sin x}{\cos^2 x-\cos x+2}\ dx=\int\frac{1}{t^2-t+2}\ dt$$
Osserviamo che, non possiamo applicare il metodo dei fratti semplici poichè il polinomio al denominatore non è scomponibile. Infatti il delta dell'equazione $t^2-t+2$ è negativo:
$$\Delta=1-8=-7 < 0$$
Integrali di questo tipo, si riconducono al famoso integrale dell'arcotangente:
$$\int\frac{1}{1+\left[f(x)\right]^2}\cdot f'(x)\ dx=\arctan\left[f(x)\right]$$
Vediamo come eseguendo alcuni passaggi:
$$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{t^2-t+2}\ dt &=&\int\frac{1}{t^2-t+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2}\ dt =\int\frac{1}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+2}\ dt=\int\frac{1}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\ dt=\\ &=&\int\frac{1}{\frac{7}{4}\left[\frac{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{7}{4}}+1\right]}\ dt=\int\frac{\frac{4}{7}}{\left[\left(\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}\right)^2+1\right]}\ dt=\int\frac{\frac{4}{7}}{\left[\frac{2}{\sqrt{7}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}\ dt=\\ &=&\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left[\frac{2}{\sqrt{7}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}\ dt=\frac{2}{\sqrt{7}}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left[\frac{2}{\sqrt{7}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}\ dt=\\ &=&\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{7}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\left[\frac{2}{\sqrt{7}}\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)\right]\end{eqnarray*}$$
$$\int\limits_{\frac{3}{2}}^2\frac{x-2}{x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}}\ dx$$
Per risolvere tale integrale, dobbiamo decomporre il polinomio presente al denominatore e applicare il metodo dei fratti semplici:
$$x_{1,\ 2}=\frac{\frac{5}{3}\pm\sqrt{\frac{25}{9}-\frac{8}{3}}}{2}=\frac{\frac{5}{3}\pm\sqrt{\frac{1}{9}}}{2}=\frac{5}{6}\pm\frac{1}{6}$$
Le soluzioni sono dunque $x_1=1$ e $x_2=\frac{2}{3}$
Applichiamo il metodo dei fratti semplici riscrivendo la funzione integranda nel seguente modo:
$$\frac{x-2}{x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-\frac{2}{3}}=\frac{Ax-\frac{2}{3}A+Bx-B}{x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}}=\frac{(A+B)x-\frac{2}{3}A-B}{x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}}$$
Per il principio d'identità dei polinomi, il primo membro e l'ultimo membro della precedente uguaglianza coincidono se e soltanto se:
$$\left\{\begin{array}{l} A+B=1\\ -\frac{2}{3}A-B=-2\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=1-B\\ -\frac{2}{3}+\frac{2}{3}B-B=-2\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=1-B\\ \frac{1}{3}B=\frac{4}{3}\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=-3\\ B=4\end{array}\right.$$
Ricapitolando, abbiamo trovato che:
$\begin{array}{l} \int\limits_{\frac{3}{2}}^2\frac{x-2}{x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}}\ dx=-3\int\limits_{\frac{3}{2}}^2\frac{1}{x-1}\ dx+4\int\limits_{\frac{3}{2}}^2\frac{1}{x-\frac{2}{3}}\ dx=\left[-3\log|x-1|+4\log\left|x-\frac{2}{3}\right|\right]_{\frac{3}{2}}^2=\\ =-3\log 1+4\log\frac{4}{3}-\left(-3\log\frac{1}{2}+4\log\frac{5}{6}\right)=\\ =4\log\frac{4}{3}+3\log\frac{1}{2}-4\log\frac{5}{6}=\\ =4(\log 4-\log 3)-3\log 2-4(\log 5-\log 6)=\\ =4\log 4-4\log 3-3\log 2-4\log 5+4\log(2\cdot 3)=\\ =8\log 2-4\log 3-3\log 2-4\log 5+4\log 2+4\log 3=\\ =9\log 2-4\log 5\end{array}$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
