In questo articolo, proponiamo la risoluzione di un elenco di disequazioni con le radici. Di seguito le disequazioni irrazionali che andremo a risolvere (clicca su ognuna di loro per visualizzare la risoluzione).
Inoltre, se vuoi esercitarti tu stesso, ti propongo alcune disequazioni irrazionali da risolvere (vedi in fondo alla pagina).
$$\frac{2+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-4}-2x+3}\le 0$$
Per prima cosa calcoliamo il campo di esistenza della disequazione essendo presenti due radici:
$\begin{cases} x^2-1\ge 0\\ x^2-4\ge 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x\le -1\ \vee\ x\ge 1\\ x\le -2\ \vee\ x\ge 2\end{cases}$
Risolvendo il sistema qui sopra trovo le C.E.: $x\le -2\ \vee\ x\ge 2$
Risolviamo la disequazione fratta osservando che il numeratore è sempre maggiore di 0 all'interno del campo di esistenza trovato. Pertanto, la frazione assumerà segno negativo se e solo se il denominatore è minore di 0:
$\sqrt{x^2-4}-2x+3 < 0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2-4} < 2x-3$
Quest'ultima è equivalente al sistema:
$\begin{cases} x^2-4\ge 0\\ 2x-3\ge 0\\ x^2-4 < 4x^2-12x+9\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x\le -2\ \vee\ x\ge 2\\ x\ge\frac{3}{2}\\ 3x^2-12x+13 > 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x\le -2\ \vee\ x\ge 2\\ x\ge\frac{3}{2}\\ \forall x\in\mathbb{R}\end{cases}$
Nota che l'ultima disequazione, avendo delta negativo, è verificata per tutti i valori di $x$. La soluzione di quest'ultimo sistema è dunque $x\ge 2$ ed è anche la soluzione della disequazione iniziale poiché soddisfa le condizione del campo di esistenza.
$$\sqrt{x^2-x} < x+1$$
Essendo questa una disequazione irrazionale con verso minore, risulta essere equivalente al sistema: $$\begin{cases} x^2-x\geq 0\\ x+1\geq 0\\ x^2-x < x^2+2x+1\end{cases}$$
Risolvendo ciascuna disequazione, otteniamo: $$\begin{cases} x\leq 0\ \vee\ x\geq 1\\ x\geq -1\\ x >-\frac{1}{3}\end{cases}$$ che ha come soluzione la seguente unione di intervalli: $$-\frac{1}{3} < x\leq 0\ \vee\ x\geq 1$$
$$\sqrt{x^2-5x+6} > x-1$$
Si tratta di una Disequazione irrazionale con verso >, quindi dobbiamo risolvere i seguenti due sistemi: $$\begin{cases} x^2-5x+6\geq 0\\ x-1\geq 0\\ x^2-5x+6 > x^2-2x+1\end{cases}\ \vee\ \begin{cases} x^2-5x+6\geq 0\\ x-1 < 0\end{cases}$$
Il primo è equivalente a $$\begin{cases} x < 2\ \vee\ x > 3\\ x\geq 1 x < \frac{5}{3}\end{cases}$$ il quale ha soluzione $1\leq x < \frac{5}{3}$.
Mentre invece, il secondo si può riscrivere come $$\begin{cases} x < 2\ \vee\ x > 3\\ x < 1\end{cases}$$ e ha come soluzione l'intervallo $x < 1$.
L'unione delle soluzioni del primo e del secondo sistema è dunque $$1\leq x < \frac{5}{3}\ \vee\ x < 1$$ ossia l'intervallo $x < \frac{5}{3}$.
$$\sqrt{x-2}+\frac{2}{\sqrt{x-1}} > 0$$
Innanzitutto imponiamo le condizioni di esistenza delle due radici: $$\begin{cases} x-2\geq 0\\ x-1> 0\end{cases}$$
Tale sistema è verificato per $x\geq 2$.
Per risolvere questa disequazione irrazionale dobbiamo per prima cosa calcolare il m.c.m ($\sqrt{x-1}$) e ridurla tutta ad un'unica frazione: $$\frac{\sqrt{(x-2)(x-1)}+2}{\sqrt{x-1}} > 0$$
Osserviamo che, essendo i radicali quantità non negative, sia il numeratore che il denominatore della frazione a primo membro sono positivi per tutti quei valori di $x$ che soddisfano le condizioni di esistenza. Per tale motivo la soluzione è proprio $x\geq 2$.
$$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\leq\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$$
Tale disequazione è equivalente a un sistema formato dalle condizioni di esistenza delle due radici e dalla disequazione che si ottiene elevando al quadrato entrambi i membri, ossia: $$\begin{cases} \frac{x+1}{x-1}\geq 0\\ \frac{x+2}{x-2}\geq 0\\ \frac{x+1}{x-1}\leq \frac{x+2}{x-2}\end{cases}$$
Le precedenti, sono tutte Disequazioni fratte che, risolte ad una ad una, portano al seguente sistema equivalente: $$\begin{cases} x\leq -1\ \vee\ x\geq 1\\ x\leq -2\ \vee\ x\geq 2\\ 0\leq x < 1\ \vee\ x > 2\end{cases}$$ la cui soluzione è $x > 2$.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
