Forma trigonometrica

Per esprimere un numero complesso in forma trigonometrica dobbiamo per prima cosa calcolare il suo modulo e il suo argomento.

Modulo e argomento di un numero complesso

Dato un numero complesso $z=a+bi$, indichiamo con $P(a,b)$ e $v=\vec{OP}$ rispettivamente il suo punto immagine e il vettore rappresentativo. Chiamiamo modulo (o valore assoluto) di $z$ la quantità:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$$

Mentre, chiamiamo argomento (o anomalia) di $z$ l'angolo $\theta$ tale che valgono:

$$\begin{array}{l} \sin\theta=\frac{b}{r}\\ \cos\theta=\frac{a}{r}\end{array}$$

o equivalentemente:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\tan\theta=\frac{b}{a}}$$

Tali risultati vengono ricavati applicando i teoremi sul triangolo rettangolo $OPH$ secondo cui si ha:

$$a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta$$

Osserviamo che l'angolo $\theta$ non viene determinato in modo univoco ma a meno di multipli additivi di $2\pi$; si dice argomento principale quello compreso tra $0$ e $2\pi$.

Dato il numero complesso $a+bi$, moltiplicando e dividendolo per il suo modulo $r$ si ottiene la sua forma trigonometrica:

$$a+bi=r(\cos\theta +i\sin\theta)$$

$z_1=-1+i$

$$r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ $$\tan\theta=-1\quad\Rightarrow\quad \theta=135°=\frac{3}{4}\pi$$

Si ha dunque:

$$z_1=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$$

$z_2=\sqrt{3}-i$

$$r=\sqrt{3+1}=2$$ $$\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad \theta=330°=\frac{11}{6}\pi$$

Si ha dunque:

$$z_2=2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\right)$$

$z_3=\sqrt{3}-i$

$$r=\sqrt{3+1}=2$$ $$\theta=\arctan\frac{-1}{\sqrt{3}}=\arctan -\frac{\sqrt{3}}{3}=330°,150°$$

L'argomento principale sarà $\theta=330°=\frac{11}{6}\pi$. Dunque:

$$z_3=2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\right)$$

$z_4=-2-2\sqrt{3}i$

$$r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+12}=4$$ $$\theta=\arctan\frac{b}{a}=\arctan\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=\arctan\sqrt{3}=60°,240°$$

Poichè $z_4$ si trova nel terzo quadrante del piano complesso di Gauss, come valore dell'argomento principale dobbiamo scegliere l'angolo che si trova nel terzo quadrante: $\theta=240°=\frac{4}{3}\pi$. Dunque $z_4$ in forma trigonometrica sarà:

$$z_4=4\left(\cos\frac{4}{3}\pi+i\sin\frac{4}{3}\pi\right)$$

$z_5=-1+i$

$$r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ $$\theta=\arctan{1}{-1}=\arctan{-1}=315°,135°$$

Ripetendo lo stesso discorso fatto prima, poichè $z_5$ si trova nel secondo quadrante del piano di Gauss, l'argomento principale è $\theta=135°=\frac{3}{4}\pi$. Dunque possiamo scrivere:

$$z_5=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$$

Osservazione: esprimere un numero complesso in forma trigonometrica ci permette di facilitare il calcolo di moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza ed estrazione di radici $n$-esime.

Moltiplicazione e divisione tra numeri complessi in forma trigonometrica

Il prodotto di due numeri complessi espressi in forma trigonometrica $$\begin{array}{l} z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\end{array}$$ è dato da $$z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$$

Il quoziente o divisione tra due numeri complessi diviene anch'esso semplice: $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

In quest'ultimo caso deve essere $z_2\neq 0$.

Potenza n-esima di un numero complesso

Secondo la Formula di De Moivre la potenza n-esima di un numero complesso è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima del modulo e per argomento il prodotto di n per l'argomento del numero dato.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\left[r(\cos\theta +i\sin\theta)\right]^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta)}$$

Radice n-esima di un numero complesso

Chiamasi radice n-esima di un numero complesso $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ogni numero complesso che elevato ad n dà $z$.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\left[r(\cos\theta +i\sin\theta)\right]^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta)}$$

Le radici n-esime di $z$ sono n:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}360°\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}360°\right)\right]}$$

ottenute attribuendo a $k$ i successivi valori $0,1,2,\dots ,(n-1)$.

Infatti, se il numero $\rho(\cos\phi+i\sin\phi)$ è una radice n-esima del numero $r(\cos\theta+i\sin\theta)$, deve essere:

$$\left[\rho(\cos\phi+i\sin\phi)\right]^n=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

ossia

$$\rho^n(\cos n\phi+i\sin n\phi)=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Affinchè sussista la precedente uguaglianza deve essere:

$$\rho^n=r\quad\mbox{e}\quad n\phi=\theta+k360°$$

e dunque:

$$\rho=\sqrt[n]{r}\quad\mbox{e}\quad\phi=\frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}360°$$