Sei alla ricerca di metodi risolutivi per le disequazioni di secondo grado? Qui di seguito trovi diverse strategie che puoi applicare anche a seconda del tipo di disequazione data.
Ricordo che puoi consultare la teoria al seguente link (click!).
- Esercizi risolti con lo studio del delta
- Esercizi risolti con il metodo della parabola
Disequazioni svolte con il segno del delta
Di seguito trovi esempi di disequazioni di secondo grado svolte mediante lo studio del segno del delta. Ricordiamo che tale schema è il seguente:
$$x^2-2x-8 > 0$$
Essendo il coefficiente della x pari, possiamo trovare il delta quarti: $$\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1+8=9>0$$
Delta maggiore di zero implica che l'equazione associata ha due radici distinte, troviamole con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado: $$\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=& \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\Delta}}{a}=\\ &=& =\frac{1\pm\sqrt{9}}{1}=\\ &=& =1\pm 3=\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} 4\ \\ \\ -2\end{array} \end{eqnarray*}$$
Si ha dunque $x_1=-2$ e $x_2=4$.
Intercettando la riga con $\Delta>0$ e colonna col verso $>$ nello schema di sopra, otteniamo che le soluzioni sono quelle esterne, ossia: $$x < -2\ \vee\ x > 4$$
$$x(x-3)+5 < \frac{3}{4}x$$
Riscriviamo la disequazione in forma normale (cioè nella forma $ax^2+bx+c < 0$): $$\begin{array}{l} x(x-3)+5 < \frac{3}{4}x\\ x^2-3x+5-\frac{3}{4}x < 0\\ x^2-3x-\frac{3}{4}x+5 < 0\\ \frac{4x^2-12x-3x+20}{4} < 0\\ 4x^2-15x+20 < 0 \end{array}$$
Il delta risulta: $$\Delta=15^2-4\cdot 4\cdot 20=-95 < 0$$
Dallo schema troviamo che la disequazione è $\nexists x\in\mathbb{R}, ossia impossibile.
Dato che lo schema fornisce le soluzioni corrette solo quando il coefficiente di $x^2$ è strettamente positivo, moltiplichiamo dapprima la disequazione per -1: $$-x^2+25\geq 0\ \Rightarrow\ x^2-25\leq 0$$
Si tratta di una disequazione incompleta (manca il termine con la x, ossia il coefficiente $b=0$), possiamo trovare le radici dell'equazione associata senza calcolare esplicitamente il delta (vedi approfondimento equazioni spurie): $$\begin{array}{l} x^2-25 =0 \\ x^2=25\\ x=\pm 5\end{array}$$ da cui si evince che $\Delta > 0$ (perchè abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte).
Dunque, essendo il delta positivo e il verso della disequazione (quella con il coefficiente di secondo grado positivo) $\leq$, la soluzione della disequazione di partenza è $$-5\leq x\leq 5$$
Disequazioni svolte con il metodo della parabola
Il primo membro di una disequazione di secondo grado scritta in forma normale non è altro che l'espressione di una parabola che può intersecare l'asse x e che volge concavità verso l'alto oppure verso il basso. Per approfondire lo studio della parabola clicca qui.
Imporre l'espressione generica $ax^2+bx+c>0$ significa vedere per quali valori di x il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse x. Per controllare ciò, bisogna dapprima trovare le eventuali intersezioni della parabola con l'asse x (semplicemente trovando le radici dell'equazione associata $ax^2+bx+c=0$) e verificando la concavità della parabola (verso l'alto se a>0, verso il basso se a < 0). Andiamo agli esercizi pratici.
L'equazione $x^2+3=0$ non ha soluzioni perchè si avrebbe $x^2=-3$ che è impossibile dato che una quantità al quadrato non può eguagliare un numero negativo. Per tale motivo la parabola non ha intersezioni con l'asse x; inoltre, il coefficiente di $x^2$ è 1 > 0, per cui la parabola giacerà sopra l'asse x senza toccare quest'ultima.
La soluzione della disequazione coincide con tutti quei valori di x per cui la parabola sta sopra l'asse x, ossia tutti! La disequazione è dunque sempre possibile (in alternativa possiamo scrivere $\forall x\in\mathbb{R}$).
Troviamo le intersezioni della parabola ($x^2-3=0$) con l'asse x: $$\begin{array}{l} x^2-3=0 \\ x^2=3\\ x=\pm\sqrt{3}\end{array}$$
Tenendo conto del coefficiente positivo di $x^2$, la rappresentazione grafica è la seguente:
La regione grigia è l'intervallo delle x per cui la parabola assume segno positivo (cioè si riferisce a quella parte di parabola $x^2-3$ che assume valore maggiore di zero). Tale regione rappresenta la soluzione, ossia: $$x \leq -\sqrt{3}\ \vee\ x \geq \sqrt{3}$$
$$4-x^2 < 0$$
Ancora una volta troviamo le intersezioni: $$\begin{array}{l} 4-x^2=0 \\ x^2=4\\ x=\pm 2\end{array}$$
Stavolta la nostra parabola ha coefficiente di $x^2$ negativo, per cui sarà rivolta verso il basso come mostra il grafico qui sotto:
Ci stiamo chiedendo per quali valori di x la parabola $4-x^2$ è minore di zero; guardando il grafico la risposta è data dalla parte grigia: $$-2 < x < 2$$
