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Esercizi sui polinomi

Semplificazioni di frazioni algebriche

Talvolta una frazione algebrica può essere tale che il numeratore e il denominatore presentino uno o più fattori numerici o letterali in comune. Qui di seguito presentiamo degli esempi che permettono di capire quando e come è possibile semplificare una frazione algebrica.

Semplifichiamo le frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza

  1. $\frac{15a^3b^5}{3a^4b^2}$ (svolgimento)
  2. $\frac{x^3-7x+6}{x^2+x-6}$ (svolgimento)
  3. $\frac{x^3-y^3}{x^3y^3}$ (svolgimento)
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$$\frac{15a^3b^5}{3a^4b^2}$$

Esercizio 1

Una frazione con denominatore nullo non è definita. Dunque, affinchè $3a^4b^2\neq 0$, dobbiamo imporre le seguenti condizioni di esistenza: $$\begin{cases} a\neq 0\\ b\neq 0\end{cases}$$

Semplifichiamo i coefficienti numerici: $$\frac{\mathop{\cancel{15}}^5a^3b^5}{\mathop{\cancel{3}}_1a^4b^2}=\frac{5a^3b^5}{a^4b^2}$$

Semplifichiamo la lettera $a$ calcolando la divisione $a^3:a^4$ (vedi le proprietà delle potenze). Eseguiamo la sottrazione degli esponenti, scrivendo la potenza $a^{4-3}$ al denominatore, dove l'esponente di $a$ è maggiore $$\frac{5\mathop{\cancel{a^3}}^1b^5}{\mathop{\cancel{a^4}}_{a^{4-3}}b^2}=\frac{5b^5}{ab^2}$$

Infine, semplifichiamo la lettera $b$. Eseguiamo la sottrazione degli esponenti, scrivendo la potenza $b^{5-2}$ al numeratore, in cui l'esponente di $b$ è maggiore $$\frac{5\mathop{\cancel{b^5}}^{b^{5-2}}}{a\mathop{\cancel{b^2}}_1}=\frac{5b^3}{a}$$

Abbiamo ottenuto $$\frac{15a^3b^5}{3a^4b^2}=\frac{5b^3}{a}$$

$$\frac{x^3-7x+6}{x^2+x-6}$$

Esercizio 2

Essendo le condizioni di esistenza $x^2+x-6\neq 0$, scomponiamo tale trinomio mediante la tecnica descritta qui, ovvero, cercando due numeri interi $x_1$ e $x_2$ tali che: $$\begin{array}{l} x_1+x_2=1\\ x_1\cdot x_2=-6\end{array}$$

Si vede che tali numeri sono $x_1=-2$ e $x_2=3$, quindi possiamo scomporre il trinomio nel seguente modo: $$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$

Le condizioni di esistenza vengono così determinate: $$(x-2)(x+3)\neq 0\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array}\begin{array}{l} x-2\neq 0\ \Rightarrow\ x\neq 2\\ \\ x+3\neq 0\ \Rightarrow\ x\neq -3\end{array}$$

Scomponiamo ora il numeratore $x^3-7x+6$, applicando la regola di Ruffini: i divisori del termine noto $6$ sono $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$ e fra questi $x=1$ annulla il polinomio dato che il resto di Ruffini è 0:

Scomposizione mediante Ruffini per semplificazione frazione algebrica

Si ha dunque: $$x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$$

Riscriviamo la frazione data e semplifichiamo: $$\frac{x^3-7x+6}{x^2+x-6}=\frac{(x-1)\cancel{(x^2+x-6)}}{\cancel{x^2+x-6}}=x-1$$

$$\frac{x^3-y^3}{x^3y^3}$$

Esercizio 3

Le condizione di esistenza sono banalmente $$\mbox{C.E.:}\begin{cases} x\neq 0\\ y\neq 0\end{cases}$$

Notiamo che il numeratore è una Differenza di cubi che si scompone così: $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

Quest'ultimo non è ulteriormente scomponibile, per cui la frazione algebrica può essere riscritta come segue: $$\frac{x^3-y^3}{x^3y^3}=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^3y^3}$$

Però, poichè numeratore e denominatore non hanno fattori a comune, non possiamo semplificare la frazione algebrica.

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