Un quadrilatero ha per vertici i punti $A=(5,2),\ B=(7,7),\ C=(2,5),\ O=(0,0)$. Verifica che è un rombo e trova perimetro e area.
Grafichiamo i vertici e li uniamo con una spezzata per ottenere il quadrilatero in questione.
Calcoliamo le distanze tra i vari vertici: $$\begin{eqnarray*} AB &=& \sqrt{(5-7)^2+(2-7)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\\ BC &=& \sqrt{(7-2)^2+(7-5)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ CO &=& \sqrt{(2-0)^2+(5-0)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\\ OA &=& \sqrt{(0-5)^2+(0-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\end{eqnarray*}$$
Dato che le distanze (e quindi i lati del quadrilatero) sono tutti uguali tra loro, ABCO è un rombo.
Calcoliamo il perimetro: $$P=4\cdot AB=4\sqrt{29}$$
Per calcolare l'area del rombo ci servono le lunghezze delle due diagonali (OB diagonale maggiore e CA diagonale minore): $$\begin{eqnarray*} OB &=& \sqrt{(0-7)^2+(0-7)^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\\ CA &=& \sqrt{(2-5)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\end{eqnarray*}$$
Infine, troviamo l'area del rombo: $$\begin{eqnarray*} Area &=&\frac{OB\cdot CA}{2}=\\ &=&\frac{7\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{2}=\\ &=&\frac{42}{2}=21\end{eqnarray*}$$
