In un articolo precedente ti ho elencato le regole per il calcolo delle derivate di funzioni elementari comprese le goniometriche e goniometriche inverse(clicca qui se vuoi consultarle). Qui invece continuo a farti esercitare sull'utilizzo di tali regole fornendoti esercizi svolti sulle derivate di funzioni semplici.
Ti ricordo che userò le regole che trovi nella sottostante tabella
Calcola le derivate delle seguenti funzioni costanti:
$$\begin{array}{l} y=5\\ y=\sqrt{3}\\ y=\log4\end{array}$$
Sono derivate di funzioni costanti quindi $y'=0$ per tutte e tre. Osserva che anche cose del tipo$\sqrt{3}$ e $\log 4$ sono costanti perché non contengono l'incognita $x$.
Calcola le derivate delle funzioni potenze di $x$:
$$\begin{array}{l}y=x\\ y=x^2 \\ y=x^3 \end{array}$$
Tenendo presente la regola di derivazione delle potenze $D(x^n)=n\cdot x^{n-1}$, si ha:
$$\begin{array}{l}D(x)=1\cdot x^{1-1}=x^0=1\\ D(x^2)=x^2=2\cdot x^{2-1}=2x \\ D(x^3)=3\cdot x^{3-1}=3x^2 \end{array}$$
Calcola la derivata di funzioni fratte elementari:
$$\begin{array}{l}y=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{x^2} \\ y= \frac{1}{x^3}\end{array}$$
Utilizziamo le proprietà delle potenze per capovolgere le frazioni:
$$\begin{array}{l}y=x^{-1}\\ y=x^{-2} \\ y= x^{-3}\end{array}$$
A questo punto deriviamo tramite la regola di derivazione usata nell'esercizio 2
$$\begin{array}{l}D(x^{-1})=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\cfrac{1}{x^2}\\ D(x^{-2})=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=\cfrac{-2}{x^3}\\ D(x^{-3})=-3\cdot x^{-3-1}=-3\cdot x^{-4}=\cfrac{-3}{x^4} \end{array}$$
Calcola la derivata di funzioni irrazionali:
$$\begin{array}{l}y=\sqrt{x} \\ y=\sqrt[3]{x} \\ y=\frac{1}{ \sqrt[5]{x^2}}\end{array}$$
La derivata della radice quadrata di x è banalmente:
$$D(\sqrt{x})=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$$
Per le altre 2 radici che non sono quadrate possiamo utilizziamo la regola dell'esercizio 2 trasformando dapprima la radice in esponente frazionario:
$$\begin{array}{l}\sqrt[3]{x} =x^{1/3}\\ \cfrac {1}{\sqrt[5]{x^2}}=\cfrac {1}{x^{2/5}}=x^{-2/5}\end{array}$$
Deriviamo le potenze ottenute:
$$\begin{array}{l}D(x^{1/3})=\cfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\cfrac{1}{3}x^{-2/3}=\cfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ D\left(x^{-2/5}\right)=-\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}-1}=-\frac{2}{5}\cdot x^{-7/5}=-\cfrac{2}{5\sqrt[5]{x^7}}\end{array}$$
Esercizi sulle derivate di funzioni esponenziali
$$\begin{array}{l}y=3^x\\ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\\ y=e^x\end{array}$$
Deriviamo seguendo la regola di derivazione di funzioni esponenziali. Nota che la derivata della funzione esponenziale di Nepero è uguale a se stessa!
$$\begin{array}{l} D(3^x)=3^x\cdot\ln 3\\ D\left[\left(\frac{1}{2}\right)^x\right]=\left(\frac{1}{2}\right)^x\cdot \ln\frac{1}{2}\\ D(e^x)=e^x\end{array}$$
Calcola la derivata dei seguenti logaritmi:
$$\begin{array}{l}y=\log_4 x\\ y=\ln x\end{array}$$
Applichiamo la derivata del logaritmo. Nota che la derivata del logaritmo naturale vale 1/x:
$$\begin{array}{l}D(\log_4 x)=\frac{1}{x\cdot \ln4}\\ D(\ln x)=\frac{1}{x}\end{array}$$
