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Esercizi di matematica

Derivate di funzioni elementari

In un articolo precedente ti ho elencato le regole per il calcolo delle derivate di funzioni elementari comprese le goniometriche e goniometriche inverse(clicca qui se vuoi consultarle). Qui invece continuo a farti esercitare sull'utilizzo di tali regole fornendoti esercizi svolti sulle derivate di funzioni semplici.

Ti ricordo che userò le regole che trovi nella sottostante tabella

regole derivate

L'esercizio non è chiaro?

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Calcola le derivate delle seguenti funzioni costanti:

$$\begin{array}{l} y=5\\ y=\sqrt{3}\\ y=\log4\end{array}$$

Esercizio 1

Sono derivate di funzioni costanti quindi $y'=0$ per tutte e tre. Osserva che anche cose del tipo$\sqrt{3}$ e $\log 4$ sono costanti perché non contengono l'incognita $x$.

Calcola le derivate delle funzioni potenze di $x$:

$$\begin{array}{l}y=x\\ y=x^2 \\ y=x^3 \end{array}$$

Esercizio 2

Tenendo presente la regola di derivazione delle potenze $D(x^n)=n\cdot x^{n-1}$, si ha:

$$\begin{array}{l}D(x)=1\cdot x^{1-1}=x^0=1\\ D(x^2)=x^2=2\cdot x^{2-1}=2x \\ D(x^3)=3\cdot x^{3-1}=3x^2 \end{array}$$

Calcola la derivata di funzioni fratte elementari:

$$\begin{array}{l}y=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{x^2} \\ y= \frac{1}{x^3}\end{array}$$

Esercizio 3

Utilizziamo le proprietà delle potenze per capovolgere le frazioni:

$$\begin{array}{l}y=x^{-1}\\ y=x^{-2} \\ y= x^{-3}\end{array}$$

A questo punto deriviamo tramite la regola di derivazione usata nell'esercizio 2

$$\begin{array}{l}D(x^{-1})=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\cfrac{1}{x^2}\\ D(x^{-2})=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=\cfrac{-2}{x^3}\\ D(x^{-3})=-3\cdot x^{-3-1}=-3\cdot x^{-4}=\cfrac{-3}{x^4} \end{array}$$

Calcola la derivata di funzioni irrazionali:

$$\begin{array}{l}y=\sqrt{x} \\ y=\sqrt[3]{x} \\ y=\frac{1}{ \sqrt[5]{x^2}}\end{array}$$

Esercizio 4

La derivata della radice quadrata di x è banalmente:

$$D(\sqrt{x})=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

Per le altre 2  radici che non sono quadrate possiamo utilizziamo la regola dell'esercizio 2 trasformando dapprima la radice in esponente frazionario:

$$\begin{array}{l}\sqrt[3]{x} =x^{1/3}\\ \cfrac {1}{\sqrt[5]{x^2}}=\cfrac {1}{x^{2/5}}=x^{-2/5}\end{array}$$

Deriviamo le potenze ottenute:

$$\begin{array}{l}D(x^{1/3})=\cfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\cfrac{1}{3}x^{-2/3}=\cfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ D\left(x^{-2/5}\right)=-\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}-1}=-\frac{2}{5}\cdot x^{-7/5}=-\cfrac{2}{5\sqrt[5]{x^7}}\end{array}$$

Esercizi sulle derivate di funzioni esponenziali

$$\begin{array}{l}y=3^x\\ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\\ y=e^x\end{array}$$

Esercizio 5

Deriviamo seguendo la regola di derivazione di funzioni esponenziali. Nota che la derivata della funzione esponenziale di Nepero è uguale a se stessa!

$$\begin{array}{l} D(3^x)=3^x\cdot\ln 3\\ D\left[\left(\frac{1}{2}\right)^x\right]=\left(\frac{1}{2}\right)^x\cdot \ln\frac{1}{2}\\ D(e^x)=e^x\end{array}$$

 

Calcola la derivata dei seguenti logaritmi:

$$\begin{array}{l}y=\log_4 x\\ y=\ln x\end{array}$$

Esercizio 6

Applichiamo la derivata del logaritmo. Nota che la derivata del logaritmo naturale vale 1/x:

$$\begin{array}{l}D(\log_4 x)=\frac{1}{x\cdot \ln4}\\ D(\ln x)=\frac{1}{x}\end{array}$$

L'esercizio non è chiaro?

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