La base di una piramide retta è un trapezio rettangolo $ABCD$. Sapendo che il raggio del cerchio inscritto in questo trapezio misura $6a$ e che il lato obliquo $\overline{CB}$ misura $13a$, si trovino le misure della base maggiore $\overline{AB}$, della base minore $\overline{CD}$ e dell'altezza $\overline{AD}$ del trapezio. Si trovi poi l'area della superficie totale ed il volume della piramide, sapendo che la sua altezza $\overline{VO}$ misura $8a$. Si determini infine a quale distanza dal vertice $V$ della piramide deve essere tracciato un piano secante, parallelo al piano di base, affinchè l'area della sezione di tale piano con la piramide risulti $\frac{1}{16}$ dell'area di $ABCD$.
Osserviamo innanzitutto che $\overline{AD}$ è uguale al diametro del cerchio inscritto:
$$\overline{AD}=12a$$
Troviamo tutti gli altri lati del trapezio osservando dapprima che, i lati $\overline{CT}$ e $\overline{TB}$ sono rispettivamente uguali ai lati $\overline{CK}$ e $\overline{BH}$. Risolviamo il seguente sistema per trovare gli altri lati del trapezio
$$\begin{cases} \overline{CB} =\overline{CK}+\overline{BH}\\ \overline{CB}^2 =(\overline{BH}-\overline{CK})^2+\overline{HK}^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} \overline{CK} =\overline{CB}-\overline{BH}\\ (\overline{BH}-\overline{CB}+\overline{BH})^2 =\overline{CB}^2-\overline{HK}^2\end{cases}$$
Sostituendo i valori di $\overline{CB}$ e $\overline{HK}$ il sistema diventa:
$$\begin{cases} \overline{CK}=13a-\overline{BH}\\ (2\overline{BH}-13a)^2=25a^2\end{cases}$$
Calcoliamo $\overline{BH}$ facendo la radice quadrata ad entrambi i membri della seconda equazione del sistema:
$$2\overline{BH}-13a=5a\quad\Rightarrow\quad\overline{BH}=9a$$
Cosi, dalla prima equazione del sistema precedente, possiamo ricavarci il valore di $\overline{CK}$:
$$\overline{CK}=13a-9a=4a$$
Abbiamo, dunque, trovato le basi del trapezio:
$$\begin{array}{l} \overline{AB}=\overline{AH}+\overline{BH}=6a+9a=15a\\ \overline{CD}=\overline{DK}+\overline{CK}=6a+4a=10a\end{array}$$
Troviamo l'area di base della piramide trapezoidale:
$$S_b=\frac{(\overline{CD}+\overline{AB})\cdot\overline{AD}}{2}=\frac{(10a+15a)12a}{2}=150a^2$$
Sapendo che il perimentro di base è
$$P=\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{CB}+\overline{AB}=12a+10a+13a+15a=50a$$
e che, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo $VOS$, l'apotema $\overline{VS}$ è
$$\overline{VS}=\sqrt{\overline{VO}^2+\overline{OS}^2}=\sqrt{64a^2+36a^2}=10a$$
possiamo calcolare la superficie laterale della piramide
$$S_l=\frac{P\overline{VS}}{2}=\frac{50a\cdot 10a}{2}=250a^2$$
Abbiamo tutti i dati per poter trovare superficie totale e volume della piramide:
$$\begin{array}{l} S_{tot}=S_b+S_l=150a^2+250a^2=400a^2\\ V=\frac{S_b\cdot\overline{VO}}{3}=\frac{400a^2\cdot 8a}{3}=1066,67a^3\end{array}$$
Per finire determiniamo l'altezza $\overline{OO'}$. Denotando con $S_{b'}$ la superficie di base del trapezio $A'B'C'D'$, secondo i dati del testo abbiamo che:
$$S_{b'}=\frac{1}{16}S_b=\frac{150}{16}a^2=9,375a^2$$
I volumi della piramide che si forma in seguito alla sezione e del rimante tronco di piramide sono rispettivamente:
$$\begin{array}{l} V'=\frac{S_{b'}\cdot\overline{VO'}}{3}\\ V_T=\frac{(S_b+S_{b'}+\sqrt{S_b\cdot S_{b'}})\cdot\overline{OO'}}{3}\end{array}$$
Sommando le due righe precedenti otteniamo al primo membro il volume $V$:
$$\begin{array}{l} V=\frac{S_{b'}\cdot\overline{VO'}+(S_b+S_{b'}+\sqrt{S_b\cdot S_{b'}})\cdot\overline{OO'}}{3}\\ 3V=(S_{b'}+S_b+S_{b'}+\sqrt{S_b\cdot S_{b'}})\cdot\overline{VO'}-(S_b+S_{b'}+\sqrt{S_b\cdot S_{b'}})\cdot\overline{OO'}\end{array}$$
Dunque l'altezza del tronco di cono sarà:
$$\begin{array}{l} \overline{OO'} &=\frac{(S_b+2S_{b'}+\sqrt{S_b\cdot S_{b'}})\overline{VO}-3V}{S_b+S_{b'}+\sqrt{S_b\cdot S_{b'}}}=\\ &=\frac{(18,75a^2+150a^2+37,5a^2)8a-1066,67a^3}{150a^2+9,375a^2+37,5a^2}=2,96a\end{array}$$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
