Studiare la seguente funzione esponenziale determinando campo di esistenza, eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui, minimi e massimi relativi e studiare la concavità della curva:
$$f(x)=(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}$$Determinazione del campo di esistenza
$x-1\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq 1$
Studio del segno
$(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}>0\quad\Rightarrow\quad x+1>0\quad\Rightarrow\quad x>-1$
Calcolo limiti
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}=\left[2\cdot e^{\frac{1}{0^-}}\right]=\left[2\cdot e^{-\infty}\right]=\left[\frac{2}{e^{+\infty}}\right]=\left[\frac{2}{+\infty}\right]=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}=\left[2\cdot e^{\frac{1}{0^+}}\right]=\left[2\cdot e^{+\infty}\right]=\left[2\cdot (+\infty)\right]=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}=\left[-\infty\cdot e^1\right]=\pm\infty\quad\Rightarrow\quad$ può esistere l'asintoto obliquo.
$m=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x+1}{x}e^{\frac{x}{x-1}}=1\cdot e=e$
$\begin{array}{l}q=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}-ex\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[x\left(e^{\frac{x}{x-1}}-e\right)+e^{\frac{x}{x-1}}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[x\left(\frac{e^x}{e^{x-1}}-e\right)+e^{\frac{x}{x-1}}\right]=\\ \ \ \lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[x\left(\frac{e^x-e^x}{e^{x-1}}\right)+e^{\frac{x}{x-1}}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[e^{\frac{x}{x-1}}\right]=e\end{array}$
Quindi l'asintoto obliquo sarà: $y=ex+e$
Derivata prima
$\begin{array}{l}f'(x)=e^{\frac{x}{x-1}}+(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=e^{\frac{x}{x-1}}\left[1-\frac{x+1}{(x-1)^2}\right]>0\quad\Leftrightarrow\quad 1-\frac{x+1}{(x-1)^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{x+1}{(x-1)^2}-1 < 0 \\ \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x+1-x^2+2x-1}{(x-1)^2}-1<0\quad\Leftrightarrow\quad-x^2+3x<0\quad\Leftrightarrow\quad x(x-3)>0\quad\Leftrightarrow\quad x<0\vee x>3\end{array}$
Dallo studio del segno della derivata prima si vede che c'è un massimo relativo per $x=0$ e un minimo relativo per $x=3$.
Derivata seconda
$\begin{array}{l}f''(x)=e^{\frac{x}{x-1}}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)\left[1-\frac{x+1}{(x-1)^2}\right]+e^{\frac{x}{x-1}}\left[-\frac{(x-1)^2-2(x^2-1)}{(x-1)^4}\right]=\quad\Leftrightarrow\\ e^{\frac{x}{x-1}}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)\left[1-\frac{x+1}{(x-1)^2}+\frac{x^2-2x+1-2x^2+2}{(x-1)^2}\right]>0\quad\Leftrightarrow\quad\frac{(x-1)^2-x-1-x^2-2x+3}{(x-1)^2}< 0 \quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad x^2-2x+1-x-1-x^2-2x+3<0\quad\Leftrightarrow\quad -5x+3\frac{3}{5}\end{array}$
Dallo studio del segno della derivata seconda si vede che c'è un punto di flesso per $x=\frac{3}{5}$.
Di seguito il grafico di funzione completo:
