A quale distanza si deve sezionare un cono equilatero di raggio $r$ con un piano parallelo alla base affichè il cono e il tronco di cono ottenuti abbiano superfici laterali equivalenti?
Poichè il cono è equilatero, l'apotema $\overline{VA}=2r$, inoltre, applicando il teorema di Pitagora al triangolo $VOA$ possiamo trovarci l'altezza del cono $\overline{VO}$:
$$\overline{VO}=\sqrt{\overline{VA}^2-r^2}=\sqrt{4r^2-r^2}=\sqrt{3}r$$
La superficie laterale del cono $VBA$ è:
$$S_{VBA}=\pi\cdot r\cdot\overline{VA}=2\pi r^2$$
Imponiamo, quindi, che la superficie laterale del cono $VDC$ sia uguale alla superficie laterale del tronco di cono $DBAC$ ed che ciascuna di esse sia metà della superficie laterale del cono $VBA$:
$$S_{VDC}=S_{DBAC}=\frac{S_{VBA}}{2}=\frac{2\pi r^2}{2}=\pi r^2$$
Inoltre, la superficie laterale del tronco di cono è:
$$S_{DBAC}=\pi(r+\overline{PC})\cdot\overline{AC}$$
mentre quella del cono $VDC$ è:
$$S_{VDC}=\pi\overline{PC}\cdot\overline{VC}=\pi\overline{PC}(\overline{VA}-\overline{AC})$$
Essendo le due superfici uguali a $\pi r^2$, otteniamo che:
$$\begin{array}{l} \pi(r+\overline{PC})\cdot\overline{AC}=\pi\overline{PC}(\overline{VA}-\overline{AC})\\ r\overline{AC}+\overline{PC}\cdot\overline{AC}=2r\overline{PC}-\overline{PC}\cdot\overline{AC}\\ r\overline{AC}+2\overline{PC}\cdot\overline{AC}=2r\overline{PC}\\ (r+2\overline{PC})\overline{AC}=2r\overline{PC}\\ AC=\frac{2r\overline{PC}}{r+2\overline{PC}}\end{array}$$
Dall'espressione di $S_{VDC}$ ricaviamoci $\overline{PC}$.
$$\begin{array}{l} S_{VDC}=\pi\overline{PC}(\overline{VA}-\overline{AC})\\ \pi r^2=\overline{PC}\left(2r-\frac{2r\overline{PC}}{r+2\overline{PC}}\right)\\ r^2=2r\overline{PC}-\frac{2r\overline{PC}^2}{r+2\overline{PC}}\\ \frac{r^2(r+2\overline{PC})}{r+2\overline{PC}}=\frac{2r^2\overline{PC}+4r\overline{PC}^2-2r\overline{PC}^2}{r+2\overline{PC}}\\ r^2+2r\overline{PC}=2r\overline{PC}+2\overline{PC}^2\end{array}$$
Da cui segue che
$$\overline{PC}^2=\frac{r^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \overline{PC}=\frac{r}{\sqrt{2}}r$$
Sostituiamo $\overline{PC}$ nell'espressione di $\overline{AC}$:
$$AC=\frac{2r\overline{PC}}{r+2\overline{PC}}=\frac{\sqrt{2}r^2}{r+\sqrt{2}r}=\frac{2r}{2+\sqrt{2}}=(2-\sqrt{2})r$$
Infine, sapendo che
$$\overline{VC}=a-\overline{AC}=2r-(2-\sqrt{2})r=\sqrt{2}r$$
e che per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo $VPC$
$$\overline{VP}=\sqrt{\overline{VC}^2-\overline{PC}^2}=\sqrt{2r^2-\frac{1}{2}r^2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r$$
si ha che la distanza richiesta è:
$$\overline{PO}=\overline{VO}-\overline{VP}=\sqrt{3}r-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r$$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
