Razionalizzazione di denominatori composti da un solo radicale
Di seguito vediamo come svolgere l'operazione di razionalizzazione di denominatori di frazioni composti da un solo radicale.
Esercizio 1
$$\frac{3}{\sqrt{27}}$$
$\frac{3}{\sqrt{27}}=\frac{3}{\sqrt{27}}\cdot\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{27}}=\frac{3\sqrt{27}}{27}=\frac{\sqrt{27}}{9}=\frac{\sqrt{3^3}}{9}=\frac{\sqrt{3^2\cdot 3}}{9}=\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Esercizio 2
$$\frac{20}{\sqrt{10}}$$
$\frac{20}{\sqrt{10}}=\frac{20}{\sqrt{10}}\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{20\sqrt{10}}{10}=2\sqrt{10}$
Esercizio 3
$$\frac{6}{\sqrt{8}}$$
$\frac{6}{\sqrt{8}}=\frac{6}{\sqrt{8}}\cdot\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\frac{6\sqrt{8}}{8}=\frac{3\sqrt{8}}{4}$
Esercizio 4
$$\frac{1}{4\sqrt{2}}$$
$\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$
Esercizio 5
$$\frac{3+\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}$$
$\frac{3+\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}+3}{5\cdot 3}=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{5\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}+1}{5}$
Esercizio 6
$$\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$
Esercizio 7
$$\frac{2x}{\sqrt{xy}}$$
$\frac{2x}{\sqrt{xy}}=\frac{2x}{\sqrt{xy}}\cdot\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\frac{2x\sqrt{xy}}{xy}=\frac{2\sqrt{xy}}{y}$
Esercizio 8
$$\frac{ab^2}{\sqrt{abx}}$$
$\frac{ab^2}{\sqrt{abx}}=\frac{ab^2}{\sqrt{abx}}\cdot\frac{\sqrt{abx}}{\sqrt{abx}}=\frac{ab^2\sqrt{abx}}{abx}=\frac{b\sqrt{abx}}{x}$
Esercizio 9
$$\frac{2x^2y}{\sqrt{x^3y}}$$
$\frac{2x^2y}{\sqrt{x^3y}}=\frac{2x^2y}{\sqrt{x^3y}}\cdot\frac{\sqrt{x^3y}}{\sqrt{x^3y}}=\frac{2x^2y\sqrt{x^3y}}{x^3y}=\frac{2\sqrt{x^3y}}{x}$
Esercizio 10
$$\frac{2a+2}{\sqrt{2ax}}$$
$\frac{2a+2}{\sqrt{2ax}}=\frac{2a+2}{\sqrt{2ax}}\cdot\frac{\sqrt{2ax}}{\sqrt{2ax}}=\frac{(2a+2)\sqrt{2ax}}{2ax}=\frac{\cancel{2}(a+1)\sqrt{2ax}}{\cancel{2}ax}=\frac{(a+1)\sqrt{2ax}}{ax}$
Razionalizzazioni di radici con indice superiore a 2
Esercizio 11
$$\frac{4}{\sqrt[3]{4}}$$
$\frac{4}{\sqrt[3]{4}}=\frac{4}{\sqrt[3]{4}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^2}}=\frac{4\sqrt[3]{4^2}}{4}=\sqrt[3]{(2^2)^2}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{2^3\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}$
Esercizio 12
$$\frac{2}{\sqrt[3]{6}}$$
$\frac{2}{\sqrt[3]{6}}=\frac{2}{\sqrt[3]{6}}\cdot\frac{\sqrt[3]{6^2}}{\sqrt[3]{6^2}}=\frac{2\sqrt[3]{6^2}}{6}=\frac{\sqrt[3]{36}}{3}$
Esercizio 13
$$\frac{12}{\sqrt[5]{8}}$$
$\frac{12}{\sqrt[5]{8}}=\frac{12}{\sqrt[5]{2^3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^2}}=\frac{12\sqrt[5]{2^2}}{2}=6\sqrt[5]{4}$
Esercizio 14
$$\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}$$
$\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}=\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}\cdot\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{2x\sqrt[4]{x^3}}{x}=2\sqrt[4]{x^3}$
Esercizio 15
$$\frac{4x^2y}{\sqrt[7]{8x^5y^2}}$$
$\frac{4x^2y}{\sqrt[7]{8x^5y^2}}=\frac{4x^2y}{\sqrt[7]{2^3x^5y^2}}\cdot\frac{\sqrt[7]{2^4x^2y^5}}{\sqrt[7]{2^4x^2y^5}}=\frac{4x^2y\sqrt[7]{2^4x^2y^5}}{2xy}=2x\sqrt[7]{16x^2y^5}$
Razionalizzazioni di somme algebriche di due radicali
Per razionalizzare questi tipi di denominatori, ricordiamo che dobbiamo far apparire al denominatore la differenza di quadrati $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
Esercizio 16
$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$
$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$
Esercizio 17
$$\frac{5}{\sqrt{6}-1}$$
$\frac{5}{\sqrt{6}-1}=\frac{5}{\sqrt{6}-1}\cdot\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}+1}=\frac{5\left(\sqrt{6}+1\right)}{6-1}=\frac{5\left(\sqrt{6}+1\right)}{5}=\sqrt{6}+1$
Esercizio 18
$$\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$$
$\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{5-2}=\frac{3\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$
Esercizio 19
$$\frac{x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$
$\frac{x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(x-1)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{x-y}$
Esercizio 20
$$\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}b}$$
$\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}b}=\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}b}\cdot\frac{a+\sqrt{a}b}{a+\sqrt{a}b}=\frac{\sqrt{a}\left(a+\sqrt{a}b\right)}{a^2-ab^2}=\frac{a\sqrt{a}+ab}{a^2-ab^2}=\frac{a\left(\sqrt{a}+b\right)}{a(a-b^2)}=\frac{\sqrt{a}+b}{a-b^2}$
Esercizio 21
$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}{1}=3+2-2\sqrt{2}\sqrt{3}=5-2\sqrt{6}$
