In questa pagina trovi tante equazioni esponenziali svolte. Prima di tutto però, se non hai ancora acquisito dimestichezza con gli esponenziali e con le proprietà delle potenze, ti consiglio di dargli una lettura (clicca nei link).
In aggiunta, puoi esercitarti con le equazioni esponenziali da risolvere che trovi qui.
$$8^x\cdot\sqrt{2}=4^x$$
Trasformiamo le potenze in modo che abbiano tutte la stessa base applicando opportunamente le proprietà delle potenze:
$8^x\cdot 2^{\frac{1}{2}}=4^x\quad\Rightarrow\quad (2^3)^x\cdot 2^{\frac{1}{2}}=(2^2)^x\quad\Rightarrow\quad 2^{3x+\frac{1}{2}}=2^{2x}\quad\Rightarrow\quad 2^{\frac{6x+1}{2}}=2^{2x}$
Essendo la base uguale, i due membri dell'equazione sono uguali se e solo se gli esponenti sono uguali.
$\frac{6x+1}{2}=2x\quad\Rightarrow\quad 6x+1=4x\quad\Rightarrow\quad 2x=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{2}$
$$\frac{2^x\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}}{8\cdot 2^{x+3}}=\sqrt[5]{4}\cdot\sqrt[3]{2}$$
Innanzitutto riscriviamo gli esponenziali $2^{x+1}$, $2^{x+2}$ e $2^{x+3}$ facendo apparire l'esponenziale comune $2^x$ e riscriviamo le radici presenti al secondo membro sotto forma di potenze con esponente frazionario: $$\begin{eqnarray} \frac{2^x\cdot 2\cdot 2^x\cdot 2^2\cdot 2^x}{2^3\cdot 2^3\cdot 2^x} &=& 4^{1/5}\cdot 2^{1/3} \frac{2^3\cdot 2^{3x}}{2^6\cdot 2^x} &=& 2^{2/5}\cdot 2^{1/3} \frac{2^{2x}}{2^3} &=& 2^{11/15}\end{eqnarray}$$
Ponendo $t=2^x$ si ottiene
$$\begin{eqnarray} \frac{t^2}{2^3}&=&2^{11/15}\\ t^2 &=& 2^{11/15}\cdot {2^3}\\ t^2 &=& 2^{\frac{11}{15}+3}\\ t^2 &=& 2^{\frac{56}{15}}\\ t &=& 2^{\frac{56}{30}}\\ t &=& 2^{\frac{28}{15}}\end{eqnarray}$$
Essendo $t=2^x$ dall'ultima equazione otteniamo $$2^x = 2^{\frac{28}{15}}$$ e quindi $x=\frac{28}{15}$.
$$81\cdot 9^x=9^{\frac{15}{x}}$$
Essendoci un denominatore, le condizioni di esistenza sono $x\neq 0$. Dividiamo ambo i membri dell'equaione per 81 e riscriviamolo al secondo membro come $9^2$: $$9^x=\frac{9^{\frac{15}{x}}}{9^2}$$ ossia $$\begin{array}{l} 9^x=9^{\frac{15}{x}-2}\\ 9^x=9^{\frac{15-2x}{x}}\end{array}$$
L'ultima equazione esponenziale è un'uguaglianza tra 2 potenze che hanno la stessa base per cui è equivalente all'uguaglianza tra i loro esponenti: $$x=\frac{15-2x}{x}$$
Risolviamo la precedente equazione fratta calcolando l'm.c.m. in entrambi i membri: $$\begin{array}{l} \frac{x^2}{x}=\frac{15-2x}{x}\\ x^2=15-2x\\ x^2+2x-15\end{array}$$
Risolviamo l'equazione di secondo grado: $$x=\frac{-1\pm\sqrt{16}}{1}=-1\pm 4=\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} -5\ \\ \\ 3\end{array}$$
Le soluzioni sono dunque $x=3$ e $x=-5$ (accettabili perchè entrambe diverse da zero).
$$\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}=1$$
Per le proprietà delle potenze si ha: $$\begin{array}{l} 2^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2^{x+1}}=2^0\\ 2^{\frac{1}{2}-x-1}=2^0\\ \frac{1}{2}-x-1=0\\ \frac{1-2x-2}{2}=0\\ 1-2x-2=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}$$
$$4^x+2^{x+1}-3=0$$
Riscriviamo l'equazione trasformando gli esponenziali con la base comune $2$: $$2^{2x}+2\cdot 2^x-3=0$$
Se poniamo $t=2^x$, l'equazione diventa di secondo grado: $$t^2+2t-3$$ che se risolta come fatto nell'esercizio precedente, troviamo le soluzioni $t=-3$ e $t=1$, ossia $$2^x=-3\qquad 2^x=1$$
La prima è chiaramente impossibile perchè un'esponenziale non può mai essere uguale ad una quantità negativa, mentre la seconda ha come soluzione $x=0$ e quest'ultima è l'unica soluzione dell'equazione esponenziale di partenza.
Risolvere l'equazione $$5^x+5^{x+1}+3\cdot 5^{x+2}=2025$$
L'equazione può essere scritta nella forma equivalente:
$$5^x+5\cdot 5^x+3\cdot 25\cdot 5^x=2025$$
Raccogliendo $5^x$ dai termini del primo membro si ottiene:
$$\begin{eqnarray*}5^x(1+5+75)&=&2025\\ 5^x&=&\frac{2025}{81}\\ 5^x&=&25\\ x&=&2\end{eqnarray*}$$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
