In questa pagina risolvo alcuni degli esercizi più comuni riguardanti la distribuzione normale. Ti ho proposto degli esercizi svolti di tipologia diversa che ti faranno capire come leggere la tavola della distribuzione normale sia per quantili positivi che negativi. In fondo trovi le tracce di ulteriori esercizi svolti contenuti in un PDF che puoi acquistare per soli 3€.
- la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia MINORE DI UN numero positivo (o QUANTILE POSITIVO);
- la probabilità che $Z$ sia MAGGIORE DI UN QUANTILE POSITIVO;
- la probabilità che $Z$ sia MINORE DI UN QUANTILE NEGATIVO;
- la probabilità che $Z$ sia MAGGIORE DI UN QUANTILE NEGATIVO;
- la probabilità che $Z$ sia COMPRESA TRA DUE QUANTILI;
Esercizio 1
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero positivo $z=1,6$
Svolgimento
Dobbiamo determinare $P(Z\le 1,6)$ ovvero il valore della funzione di ripartizione $F(z=1,6)$. Leggiamo la tavola: nella prima colonna sono riportati la parte intera e la prima cifra decimale di $z$, mentre, nella prima riga, la seconda cifra decimale di $z$.
I valori della funzione di ripartizione sono riportati all'interno della tabella.
Per $z=1,6$ si procede nella colonna segnata $z$ fino a $1,6$ e poi si procede a destra e si legge il valore nella prima colonna (segnata 0).
La probabilità risulta:
$$F(Z=1,60)=P(Z\le 1,60)=0,9452$$
Questa probabilità è rappresentata nell'area ombreggiata nella figura qui sotto.
Esercizio 2
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero positivo $z=0,65$
Svolgimento
Dobbiamo calcolare $P(Z\ge 0,65)$. Poiché nella tavola sono tabulati soltanto i valori della funzione di ripartizione (ovvero le probabilità che $Z$ sia minore o uguale di un certo valore $z$), possiamo calcolare la probabilità richiesta osservando che:$$\begin{array}{l}P(Z\ge 0,65)=1-P(Z < 0,65)=\\=1-F(Z=0,65)=\\ = 1- 0,7422\\= 0,2578\end{array}$$
dove $F(Z=0,65)$ è stata calcolata come nel primo esempio già visto: procedendo nella colonna segnata da $z$ fino a $0,6$ e poi, procedendo a destra fino alla colonna segnata $5$, si legge il valore $0,7422$.
La probabilità è rappresentata nella figura qui sotto.
Esercizio 3
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero negativo $z=-1,12$
Svolgimento
La probabilità cercata è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura sotto.
Dobbiamo trovare $P(Z < -1,12)$. Per determinare tale probabilità si può osservare che la curva è simmetrica rispetto al valore $z=0$, pertanto:
$$P(Z < -1,12)=P(Z > 1,12)$$
e dunque, per quello fatto nel secondo esempio:
$$\begin{array}{l}P(Z > 1,12)=\\ =1-F(Z=1,12)=\\=1-0,8686=\\=0,1314\end{array}$$
Esercizio 4
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero negativo $z=-0,93$
Svolgimento
Dobbiamo trovare $P(Z > -0,93)$. Sempre grazie alla simmetria della curva rispetto al valore $z=0$, si ha:
$$P(Z > -0,93) = P(Z < 0,93)=0,8238$$
Esercizio 5
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia compresa tra due valori $z_1=0,6$ e $z_2=1,3$
Svolgimento
La probabilità cercata è $P(0,6 < Z < 1,3)$ ed è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura qui sotto.
Per determinare tale probabilità si può osservare che:
$$\begin{array}{l}P(0,6 < Z < 1,3)=\\=F(Z=1,3)-F(Z=0,6)=\\=0,9032-0,7257=\\=0,1775\end{array}$$
dove i valori di $F(Z=1,3)$ e $F(Z=0,6)$ sono stati determinati leggendoli nella tavola della distribuzione normale così come fatto negli esempi precedenti.
Altri esercizi sulla distribuzione normale risolti
Nella popolazione di un particolare alimento la quantità della proteina A ha media di 35 microgrammi e deviazione standard 5. Supponendo una distribuzione gaussiana dei valori della proteina, qual è la probabilità di trovare individui con valori superiori a 40?
La durata delle gomme per auto segue una distribuzione Gaussiana di media 70000 km e deviazione standard 8000 km Qual è la proporzione delle gomme
- che durano meno di 60000km?
- La pubblicità dichiara che "il 90% delle nostre gomme durano più di x km". Qual è il valore di x?
I negozi A e B di una catena di elettrodomestici hanno rispettivamente scorte settimanali di 30 e 20 forni a microonde. Supponiamo che la domanda settimanale di questi elettrodomestici segua la distribuzione normale, nel negozio A con media 25 e scarto quadratico medio 5, nel negozio B con media 16 e scarto quadratico medio 3.5. Con queste informazioni, il management vuole sapere quale dei due negozi ha la maggiore probabilità di esaurire le scorte di magazzino
L'allungamento di una barra di acciaio sottoposta a un carico specifico ha una distribuzione normale con media $\mu=0.15 cm$ e deviazione standard $\sigma = 0.03cm$. Calcolare:
- La probabilità che l'allungamento a. sia superiore a 0.35 cm
- La probabilità che l'allungamento sia compreso tra 0.06 cm e 0.12 cm
- Il valore k dell'allungamento che viene superato con una probabilità pari a 0.5
Si consideri la variabile casuale X="altezza delle italiane". Tale variabile si distribuisce come una normale con media 167 e scarto quadratico medio 3. Si calcoli il valore di 𝑥0 tale che: $P(X>x_0)=0.80$
Le lavatrici di una azienda hanno durata media di 5 anni e varianza $64 mesi^2$. Assumendo che la distribuzione della durata segua una distribuzione normale:
- Si stabilisca quale garanzia l'azienda deve offrire alla clientela in modo che durante il periodo di garanzia l'azienda sia chiamata a riparare solo lo 0.1% delle lavatrici vendute;
- si determini la % di macchine che l'azienda dovrà riparare nel caso in cui la garanzia è fissata a 2 anni
Tre processi di packaging prevedono di realizzare pacchi di zucchero distribuiti normalmente. Il primo processo ha $\mu= 999$ e $\sigma = 2 gr$, il secondo $\mu=1000$ e $\sigma= 3$, il terzo $\mu= 1001$ e $\sigma = 4$. Vengono classificati come difettosi tutti quei pacchi che hanno peso minore di 995 o maggiore di 1005. I pacchi dopo la produzione vengono tutti conferiti a un unico magazzino, ma la capacità produttiva dei tre processi è differente: la prima linea produce la metà del prodotto, mentre le altre due il restante 25% l'una.
- Qual è la difettosità di ciascuno dei processi?
- Estraendo un pacco a caso dal magazzino, qual è la probabilità che esso sia difettoso?
La portata di un fiume nel mese di giugno nella località A è descritta dalla variabile $X\sim N(240,\sigma^2)$.
- Assumendo che $P(X<400)=0.9$, determinare $\sigma^2$
- Assumendo che $\sigma^2=100$, calcolare $P(230< X< 260)$
- Sia $Y=10+X$ la variabile aleatoria che descrive la portata del fiume nel mese di giugno nella località B. Supponendo che $\sigma^2=100$, calcolare $P(240< Y <270)$.
Un operaio A per compiere un lavoro impiega un certo tempo (in minuti) $T_A$ che può essere descritto da una variabile aleatoria normale di media 102 e varianza 9. Un secondo operaio B impiega, per lo stesso lavoro, un tempo (in minuti) $T_B$ che può essere descritto da una variabile aleatoria normale di media 100 e varianza 16. I due operai iniziano il lavoro contemporaneamente ed in maniera indipendente.
- Determinare valore atteso e varianza della variabile $T_A-T_B$ e specificare la distribuzione
- Calcolare la probabilità che l'operaio A finisca il lavoro prima dell'operaio B
- Determinare il valore k tale che $P(T_A −T_B > k)=0.4$
Durante il primo giorno dei saldi invernali, all'interno di un centro commerciale sono stati intervistati due campioni casuali di clienti, rilevando la spesa (in euro) sostenuta per capi di abbigliamento. Su un campione casuale di 80 donne, la spesa ha presentato media e scostamento quadratico medio corretto campionario rispettivamente pari a 120 e a 25. Le analoghe statistiche campionarie calcolare su un campione casuale di 90 uomini sono risultate rispettivamente uguali a 110 e a 15. Supponendo che entrambe le popolazioni siano normalmente distribuite e che, inoltre, i valori dei rispettivi parametri siano uguali a quelli delle corrispondenti stime campionarie, determinare la probabilità di estrarre a caso una donna e un uomo tali che la loro spesa complessiva superi 200 euro.
La v.c. X si distribuisce secondo una legge normale con media pari a 100 e varianza pari a 225. Si vogliono determinare gli estremi dell'intervallo, centrato su 100 all'interno del quale viene a trovarsi l'80% delle osservazioni.
Un dipendente va al lavoro usando due mezzi pubblici: prima il treno e poi il tram. L'orario di partenza del tram è dieci minuti dopo l'arrivo previsto del treno secondo una v.c. normale con $E(X)=5 min$ e $Var(X)=4 min^2$, il secondo parte dalla pensilina della stazione con un ritardo che si distribuisce anch'esso secondo una v.c. normale con $E(Y)=5 min$ e $Var(Y)=4 min^2$ ed è indipendente dal ritardo del treno. Calcolare la probabilità di prendere il tram.
Per trasmettere un messaggio binario da una sorgente a un ricevente tramite canale si manda un segnale elettrico di 2 volt se il messaggio è "1", -2 volt se "0". A causa di un disturbo di segnale A invia x, x=+-2 e B riceve R=x+N. Alla ricezione si decodifica il messaggio così: $$\begin{array}{l} R\geq 0.5\ \rightarrow\ 1\\ R\le 0.5\ \rightarrow\ 0\end{array}$$ N ha distribuzione normale standard. Si determinano le probabilità di decodificare erroneamente il messaggio.
Una linea produttiva realizza scatole di 20 pacchi di zucchero. Questi hanno un peso che si distribuisce secondo una var. casuale normale, indipendenti tra loro, con valore atteso pari a 1000gr e dev. Stand. 10gr. Prendendo una scatola a caso, se essa pesa meno di 19900gr l'intero lotto viene respinto.
- Calcolare qual è la probabilità di vedersi respinto il lotto.
- A che valore devo portare il valore atteso di ogni pacco per limitare questo rischio all'1 per mille?
Indichiamo con S il valore della popolazione agente e R il valore della sollecitazione resistente, immaginiamo che entrambe queste siano variabili aleatorie distribuite normalmente e indipendentemente. R ha valore atteso 10 e dev. Stand. 0.05, S ha dev. Stand. 0.1. Che valore atteso deve avere al massimo la sollecitazione S affinché la probabilità di resistenza sia superiore a 0.9999?
In un'industria alimentare la produzione giornaliera di confezioni di un certo prodotto, è distribuita normalmente, con media 100 e varianza 625. Anche le vendite giornaliere, in numero di confezioni, sono distribuite normalmente, con media 100 e scarto quadratico medio 8. Le quantità vendute e quelle prodotto hanno un coeffciente di correlazione lineare pari a 0.60. Il prezzo di vendita di una confezione è di 10 dollari. Il costo variabile di produzione, per confezione, è di 7 dollari mentre i costi fissi giornalieri di produzione ammontano a 250 dollari. Qual è la probabilità che, nel singolo giorno, il ricavo totale sia maggiore di costi totali?
Le uova di gallina di un allevamento hanno un peso medio di 60 grammi e una deviazione standard di 12 grammi (si assuma che i pesi delle uova seguono una distribuzione normale). Uova con peso inferiore a 45 grammi vengono classificate come piccole. Le rimanenti vengono classificate come standard e come grandi. Assumendo che la probabilità di trovare un uovo standard sia uguale alla probabilità di trovare un uovo grande, a quale peso bisognerebbe distinguere tra standard e grandi?
Sia $X$ una variabili aleatoria normalmente distribuita con media $\mu=10$ e deviazione standard $\sigma=3$. Determinare le seguenti probabilità:
- $P(X\le 13)$;
- $P(X\ge 14,5)$;
- $P(-6\le X\le 12)$.
