In questa pagina risolvo alcuni degli esercizi più comuni riguardanti la distribuzione normale. Ti ho proposto degli esercizi svolti di tipologia diversa che ti faranno capire come leggere la tavola della distribuzione normale sia per quantili positivi che negativi. In sintesi ti mostro come calcolare:
Le uova di gallina di un allevamento hanno un peso medio di 60 grammi e una deviazione standard di 12 grammi (si assuma che i pesi delle uova seguono una distribuzione normale). Uova con peso inferiore a 45 grammi vengono classificate come piccole. Le rimanenti vengono classificate come standard e come grandi. Assumendo che la probabilità di trovare un uovo standard sia uguale alla probabilità di trovare un uovo grande, a quale peso bisognerebbe distinguere tra standard e grandi?
Scriviamo i dati del problema:
La probabilità di trovare un uovo standard è la probabilità che X sia compreso tra 45 e un certo numero di grammi $x_0$(incognita).
$$P(45\le X\le x_0)$$
Mentre, la probabilità di trovare un uovo grande sarà la probabilità che X sia maggiore di $x_0$.
$$P(X > x_0)$$
Per trovare $x_0$, visto che la probabilità di trovare un uovo standard equivale a quella di trovarne uno grande, basta imporre la seguente uguaglianza:
$$P(45\le X\le x_0)=P(X > x_0)$$
Elaboriamola. Si ha che
$$\begin{array}{l} P(45\le X\le x_0)=\\ =P(X\le x_0)-P(X\le 45)\end{array}$$
e
$$\begin{array}{l}P(X > x_0)=1-P(X\le x_0)\end{array}$$
Dunque, l'uguaglianza iniziale si trasforma così:
$\begin{array}{l}P(X\le x_0)-P(X\le 45)=\\1-P(X\le x_0)\\ \Rightarrow\ 2P(X\le x_0)=1+P(X\le 45)\\ \Rightarrow\ P(X\le x_0)=\frac{1+P(X\le 45)}{2}\end{array}$
Adesso standardizziamo la variabile X, sapendo che $Z=\frac{X-60}{12}$:
$P\left(\frac{X-60}{12}\le\frac{x_0-60}{12}\right)=\frac{1+P\left(\frac{X-60}{12}\le \frac{45-60}{12}\right)}{2}\quad\Rightarrow\quad P(Z\le z_0)=\frac{1+P(Z\le -1,25)}{2}$
Calcoliamo $P(Z\le -1,25)$:
$\begin{eqnarray*}&&P(Z\le -1,25)=\\ &=&P(Z\ge 1,25)= \\&=&1-P(Z < 1,25)=\\ &=&1-0,8944=\\&=& 0,1056\quad\mbox{valore preso dalle tavole}\end{eqnarray*}$
Sostituendo quest'ultima probabilità nell'equazione precedente troviamo che:
$P(Z\le z_0)=\frac{1+0,1056}{2}\quad\Rightarrow\quad P(Z\le z_0)=0.5528$
Leggendo dalle tavole della distribuzione normale il punto critico $z$ in corrispondenza dell'area che si avvicina di più a 0,5528 (0,5517), ricaviamo che $z_0=0,13$.
Ricordando che $z_0=\frac{x_0-60}{12}$ possiamo finalmente ricavare il valore di $x_0$.
$\begin{array}{l}0,13=\frac{x_0-60}{12}\\ \Rightarrow\ 12\cdot 0,13=x_0-60\\ \Rightarrow\ x_0= 12\cdot 0,13+60=61,56\end{array}$
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero positivo $z=1,6$
Dobbiamo determinare $P(Z\le 1,6)$ ovvero il valore della funzione di ripartizione $F(z=1,6)$. Leggiamo la tavola: nella prima colonna sono riportati la parte intera e la prima cifra decimale di $z$, mentre, nella prima riga, la seconda cifra decimale di $z$.
I valori della funzione di ripartizione sono riportati all'interno della tabella.
Per $z=1,6$ si procede nella colonna segnata $z$ fino a $1,6$ e poi si procede a destra e si legge il valore nella prima colonna (segnata 0).
La probabilità risulta:
$$F(Z=1,60)=P(Z\le 1,60)=0,9452$$
Questa probabilità è rappresentata nell'area ombreggiata nella figura qui sotto.
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero positivo $z=0,65$
Dobbiamo calcolare $P(Z\ge 0,65)$. Poiché nella tavola sono tabulati soltanto i valori della funzione di ripartizione (ovvero le probabilità che $Z$ sia minore o uguale di un certo valore $z$), possiamo calcolare la probabilità richiesta osservando che:
$$\begin{array}{l}P(Z\ge 0,65)=1-P(Z < 0,65)=\\=1-F(Z=0,65)=\\ = 1- 0,7422\\= 0,2578\end{array}$$
dove $F(Z=0,65)$ è stata calcolata come nel primo esempio già visto: procedendo nella colonna segnata da $z$ fino a $0,6$ e poi, procedendo a destra fino alla colonna segnata $5$, si legge il valore $0,7422$.
La probabilità è rappresentata nella figura qui sotto.
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero negativo $z=-1,12$
La probabilità cercata è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura sotto.
Dobbiamo trovare $P(Z < -1,12)$. Per determinare tale probabilità si può osservare che la curva è simmetrica rispetto al valore $z=0$, pertanto:
$$P(Z < -1,12)=P(Z > 1,12)$$
e dunque, per quello fatto nel secondo esempio:
$$\begin{array}{l}P(Z > 1,12)=\\ =1-F(Z=1,12)=\\=1-0,8686=\\=0,1314\end{array}$$
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero negativo $z=-0,93$
Dobbiamo trovare $P(Z > -0,93)$. Sempre grazie alla simmetria della curva rispetto al valore $z=0$, si ha:
$$P(Z > -0,93) = P(Z < 0,93)=0,8238$$
Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia compresa tra due valori $z_1=0,6$ e $z_2=1,3$
La probabilità cercata è $P(0,6 < Z < 1,3)$ ed è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura qui sotto.
Per determinare tale probabilità si può osservare che:
$$\begin{array}{l}P(0,6 < Z < 1,3)=\\=F(Z=1,3)-F(Z=0,6)=\\=0,9032-0,7257=\\=0,1775\end{array}$$
dove i valori di $F(Z=1,3)$ e $F(Z=0,6)$ sono stati determinati leggendoli nella tavola della distribuzione normale così come fatto negli esempi precedenti.
Sia $X$ una variabili aleatoria normalmente distribuita con media $\mu=10$ e deviazione standard $\sigma=3$. Determinare le seguenti probabilità:
Calcolo probabilità 1:
occorre dapprima standardizzare la variabile $X$ e quindi il valore $x=13$:
$$\begin{array}{l}P(X\le 13)=\\=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{13-10}{3}\right)=\\=P(Z\le 1)=F(Z=1)=\\=0,8413\end{array}$$
Il valore $F(Z=1)$ è stato letto sulla tavola della distribuzione normale come fatto negli esercizi precedenti.
Calcolo probabilità 2:
$$\begin{array}{l}P(X\ge 14,5)=\\=P\left(Z\ge\frac{14,5-10}{3}\right)=\\=P(Z\ge 1,5)=\\=1-F(Z=1,5)=\\=1-0,9332=\\=0,0668\end{array}$$
Calcolo probabilità 3:
$$\begin{array}{l} P(-6\le X\le 12) =\\= P\left(\frac{-6-10}{3}\le Z\le\frac{12-10}{3}\right)=\\=P(-5,33\le Z\le 0,67)=\\=P(Z\le 0,67)- P(Z\le -5,33)= \\=P(Z\le 0,67)-[1-P(Z\le 5,33)]=\\=F(Z=0,67)-1+F(Z=5,33)=\\=0,7794-1+1=\\=0,7794\end{array}$$
Da notare che la $F(Z=5,33)\simeq 1$ poiché il valore $z=5,33$ si trova nell'estrema curva destra della distribuzione.
