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Le uova di gallina di un allevamento hanno un peso medio di 60 grammi e una deviazione standard di 12 grammi (si assuma che i pesi delle uova seguono una distribuzione normale). Uova con peso inferiore a 45 grammi vengono classificate come piccole. Le rimanenti vengono classificate come standard e come grandi. Assumendo che la probabilità di trovare un uovo standard sia uguale alla probabilità di trovare un uovo grande, a quale peso bisognerebbe distinguere tra standard e grandi?

Esercizio 1

Scriviamo i dati del problema:

  1. $X=\mbox{"peso dell'uovo"}\quad X\sim N(60,12^2)$
  2. $X < 45=$ "evento uova classificate come piccole"
  3. $X\ge 45=$ "evento uova classificate come standard o grandi"

La probabilità di trovare un uovo standard è la probabilità che X sia compreso tra 45 e un certo numero di grammi $x_0$(incognita).

$$P(45\le X\le x_0)$$

Mentre, la probabilità di trovare un uovo grande sarà la probabilità che X sia maggiore di $x_0$.

$$P(X > x_0)$$

Per trovare $x_0$, visto che la probabilità di trovare un uovo standard equivale a quella di trovarne uno grande, basta imporre la seguente uguaglianza:

$$P(45\le X\le x_0)=P(X > x_0)$$

Elaboriamola. Si ha che

$$\begin{array}{l} P(45\le X\le x_0)=\\ =P(X\le x_0)-P(X\le 45)\end{array}$$
e
$$\begin{array}{l}P(X > x_0)=1-P(X\le x_0)\end{array}$$

Dunque, l'uguaglianza iniziale si trasforma così:

$\begin{array}{l}P(X\le x_0)-P(X\le 45)=\\1-P(X\le x_0)\\ \Rightarrow\ 2P(X\le x_0)=1+P(X\le 45)\\ \Rightarrow\  P(X\le x_0)=\frac{1+P(X\le 45)}{2}\end{array}$

Adesso standardizziamo la variabile X, sapendo che $Z=\frac{X-60}{12}$:

$P\left(\frac{X-60}{12}\le\frac{x_0-60}{12}\right)=\frac{1+P\left(\frac{X-60}{12}\le \frac{45-60}{12}\right)}{2}\quad\Rightarrow\quad P(Z\le z_0)=\frac{1+P(Z\le -1,25)}{2}$

Calcoliamo $P(Z\le -1,25)$:

$\begin{eqnarray*}&&P(Z\le -1,25)=\\ &=&P(Z\ge 1,25)= \\&=&1-P(Z < 1,25)=\\ &=&1-0,8944=\\&=& 0,1056\quad\mbox{valore preso dalle tavole}\end{eqnarray*}$

Sostituendo quest'ultima probabilità nell'equazione precedente troviamo che:

$P(Z\le z_0)=\frac{1+0,1056}{2}\quad\Rightarrow\quad P(Z\le z_0)=0.5528$

Leggendo dalle tavole della distribuzione normale il punto critico $z$ in corrispondenza dell'area che si avvicina di più a 0,5528 (0,5517), ricaviamo che $z_0=0,13$.

Ricordando che $z_0=\frac{x_0-60}{12}$ possiamo finalmente ricavare il valore di $x_0$.

$\begin{array}{l}0,13=\frac{x_0-60}{12}\\ \Rightarrow\ 12\cdot 0,13=x_0-60\\ \Rightarrow\ x_0= 12\cdot 0,13+60=61,56\end{array}$

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero positivo $z=1,6$

Esercizio 2

Dobbiamo determinare $P(Z\le 1,6)$ ovvero il valore della funzione di ripartizione $F(z=1,6)$. Leggiamo la tavola: nella prima colonna sono riportati la parte intera e la prima cifra decimale di $z$, mentre, nella prima riga, la seconda cifra decimale di $z$.

I valori della funzione di ripartizione sono riportati all'interno della tabella.

Per $z=1,6$ si procede nella colonna segnata $z$ fino a $1,6$ e poi si procede a destra e si legge il valore nella prima colonna (segnata 0).

Come leggere la tavola della distribuzione normale

La probabilità risulta:

$$F(Z=1,60)=P(Z\le 1,60)=0,9452$$

Questa probabilità è rappresentata nell'area ombreggiata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore minore di un numero positivo

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero positivo $z=0,65$

Esercizio 3

Dobbiamo calcolare $P(Z\ge 0,65)$. Poiché nella tavola sono tabulati soltanto i valori della funzione di ripartizione (ovvero le probabilità che $Z$ sia minore o uguale di un certo valore $z$), possiamo calcolare la probabilità richiesta osservando che:

$$\begin{array}{l}P(Z\ge 0,65)=1-P(Z < 0,65)=\\=1-F(Z=0,65)=\\ = 1- 0,7422\\= 0,2578\end{array}$$

dove $F(Z=0,65)$ è stata calcolata come nel primo esempio già visto: procedendo nella colonna segnata da $z$ fino a $0,6$ e poi, procedendo a destra fino alla colonna segnata $5$, si legge il valore $0,7422$.

Come calcolare la probabilità di una distribuzione normale

La probabilità è rappresentata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore maggiore di un numero negativo

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero negativo $z=-1,12$

Esercizio 4

La probabilità cercata è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura sotto.

Probabilità che Z assume un valore minore di un numero negativo

Dobbiamo trovare $P(Z < -1,12)$. Per determinare tale probabilità si può osservare che la curva è simmetrica rispetto al valore $z=0$, pertanto:

$$P(Z < -1,12)=P(Z > 1,12)$$

e dunque, per quello fatto nel secondo esempio:

$$\begin{array}{l}P(Z > 1,12)=\\ =1-F(Z=1,12)=\\=1-0,8686=\\=0,1314\end{array}$$

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero negativo $z=-0,93$

Esercizio 5

Dobbiamo trovare $P(Z > -0,93)$. Sempre grazie alla simmetria della curva rispetto al valore $z=0$, si ha:

$$P(Z > -0,93) = P(Z < 0,93)=0,8238$$

Probabilità che Z assume un valore maggiore di un numero negativo

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia compresa tra due valori $z_1=0,6$ e $z_2=1,3$

Esercizio 6

La probabilità cercata è $P(0,6 < Z < 1,3)$ ed è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore compreso tra due numeri

Per determinare tale probabilità si può osservare che:

$$\begin{array}{l}P(0,6 < Z < 1,3)=\\=F(Z=1,3)-F(Z=0,6)=\\=0,9032-0,7257=\\=0,1775\end{array}$$

dove i valori di $F(Z=1,3)$ e $F(Z=0,6)$ sono stati determinati leggendoli nella tavola della distribuzione normale così come fatto negli esempi precedenti.

Sia $X$ una variabili aleatoria normalmente distribuita con media $\mu=10$ e deviazione standard $\sigma=3$. Determinare le seguenti probabilità:

  1. $P(X\le 13)$;
  2. $P(X\ge 14,5)$;
  3. $P(-6\le X\le 12)$.
Esercizio 7

Calcolo probabilità 1:

occorre dapprima standardizzare la variabile $X$ e quindi il valore $x=13$:

$$\begin{array}{l}P(X\le 13)=\\=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{13-10}{3}\right)=\\=P(Z\le 1)=F(Z=1)=\\=0,8413\end{array}$$

Il valore $F(Z=1)$ è stato letto sulla tavola della distribuzione normale come fatto negli esercizi precedenti.

Calcolo probabilità 2:

$$\begin{array}{l}P(X\ge 14,5)=\\=P\left(Z\ge\frac{14,5-10}{3}\right)=\\=P(Z\ge 1,5)=\\=1-F(Z=1,5)=\\=1-0,9332=\\=0,0668\end{array}$$

Calcolo probabilità 3:

$$\begin{array}{l} P(-6\le X\le 12) =\\= P\left(\frac{-6-10}{3}\le Z\le\frac{12-10}{3}\right)=\\=P(-5,33\le Z\le 0,67)=\\=P(Z\le 0,67)- P(Z\le -5,33)= \\=P(Z\le 0,67)-[1-P(Z\le 5,33)]=\\=F(Z=0,67)-1+F(Z=5,33)=\\=0,7794-1+1=\\=0,7794\end{array}$$

Da notare che la $F(Z=5,33)\simeq 1$ poiché il valore $z=5,33$ si trova nell'estrema curva destra della distribuzione.

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