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Esercizi sui test di ipotesi

Esercizi sul calcolo del p-value

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Sia $X\sim N(\theta, 1)$ e si supponga di disporre di un campione bernoulliano di dimensione $n=9$ per saggiare il sistema di ipotesi: $$\begin{cases} H_0:\theta = 8.45\\ H_1:\theta\neq 8.45\end{cases}$$ Si decide di rifiutare $H_0$ se, in valore assoluto, la determinazione campionaria della statistica test $T_n=\sqrt{n}(\overline{X}_n-8.45)$ è maggiore di $2.18$. Se $t_{oss}=0.2$, qual è il livello di significatività osservato?
Esercizio 1

Il livello di significatività osservato o P-value per un test bilaterale è la probabilità che il valore assoluto della statistica test sia maggiore o uguale al valore osservato supposta vera l'ipotesi nulla. In formule scriveremo: $$\begin{eqnarray*} Pvalue &=& P(|T_n|\geq t_{oss}|H_0)=2\cdot P(T_n\geq t_{oss}|H_0)=\\ &=& 2\cdot P(\sqrt{n}(\overline{X}_n-8.45)\geq 2.18|H_0)=\\ &=& 2\cdot P(\overline{X}_n\geq 8.52|H_0)\stackrel{standard.}{=}\\ &=& 2\cdot P\left(Z\geq {8.52-8.45\over 1/3}\right)=2\cdot P(Z\geq 0.21)=\\ &=& 2[1-P(Z < 0.21)]=2(1-0.5832)=0.8336\end{eqnarray*}$$

Per maggiore chiarezza sulla formula di standardizzazione utilizzata, ricordiamo che la distribuzione della media campionaria $\overline{X}_n$ ha valore atteso uguale al valore atteso di $X$ (nel nostro caso $\theta$=8.45) e varianza uguale alla varianza di $X$ diviso $n$ (nel nostro caso $Var(\overline{X}_n)={Var(X)\over n}={1\over 9}$).

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