Definito il concetto di probabilità condizionata e capito il Teorema di Bayes, siamo pronti a risolvere esercizi applicando appunto i concetti appena menzionati. In particolare, in questo articolo, ti mostrerò come calcolare le probabilità di eventi condizionati utilizzando il teorema di Bayes o semplicemente la definizione di probabilità condizionata.
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In un paese scandinavo il $70\%$ delle ragazze ha i capelli biondi, il $20\%$ li ha rossi, il $10\%$ mori. Risulta poi che ha gli occhi scuri il $10\%$ delle bionde, il $25\%$ delle rosse, il $50\%$ delle more. Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite internet mi fa sapere che ha gli occhi scuri, che probabilità c'è che sia bionda?
Indichiamo con $B$ la percentuale di ragazze bionde, con $R$ quella delle ragazze rosse e con $M$ quella delle ragazze more. Inoltre, chiamiamo $S=$ "la ragazza ha gli occhi scuri".
Raggruppiamo i dati forniti dal testo nella seguente tabella riassuntiva:
Dalla tabella si evince che le probabilità che le ragazze abbiano un determinato colore dei capelli sono:
$$P(B)=0,7\quad P(R)=0,2\quad P(M)=0,1$$
ed inoltre, le probabilità che le ragazze abbiano gli occhi scuri condizionate dal colore dei capelli sono:
$$P(S|B)=0,1\quad P(S|R)=0,25\quad P(S|M)=0,5$$
Possiamo rispondere al quesito posto, semplicemente applicando il Teorema di Bayes:
$$\begin{array}{l} P(B|S)&=\frac{P(B)\cdot P(S|B)}{P(B)P(S|B)+P(R)P(S|R)+P(M)P(S|M)}=\\ &=\frac{0,7\cdot 0,1}{0,7\cdot 0,1+0,2\cdot 0,25+0,1\cdot 0,5}\simeq 0,41=41\%\end{array}$$
Durante una gita in barca un turista afferma di vedere un delfino. In quelle acque, si possono trovare delfini (il $90\%$ delle volte) e squali (il $10\%$ delle volte). A causa del riflesso della luce solare, un turista può identificare correttamente il tipo di animale con una probabilità del $70\%$. Quanto vale la probabilità che l'animale avvistato dal turista sia veramente un delfino?
Definiamo i seguenti eventi:
$T=$ "Il turista vede un delfino".
$D=$ "I'animale avvistato è un delfino".
$S=$ "I'animale avvistato è uno squalo" $=\overline{D}$ = "I'animale avvistato non è un delfino".
Abbiamo che $P(D)=0.9=\frac{9}{10}$, $P(S)=0.1=\frac{1}{10}$.
Inoltre si hanno le seguenti probabilità condizionate: $P(T|D)=0.7=\frac{7}{10}$ e $P(T|S)=P(T|\overline{D})=1-P(T|D)=\frac{3}{10}$.
La probabilità richiesta è $P(D|T)$.
Innanzitutto calcoliamo $P(T)$ mediante il Teorema sulla Probabilità Totale:
$$P(T)=P(T|D)*P(D)+P(T|S)*P(S)=\frac{7}{10}*\frac{9}{10}+\frac{3}{10}*\frac{1}{10}=\frac{66}{100}$$
Calcoliamo $P(T\cap D)$ mediante la probabilità condizionata:
$$P(T\cap D)=P(T|D)*P(D)=\frac{7}{10}*\frac{9}{10}=\frac{63}{100}$$
Ed infine possiamo trovare la probabilità richiesta:
$$P(D|T)= \frac{P(T\cap D)}{P(T)}=\frac{63/100}{66/100}=\frac{63}{66}$$
Ci sono $2$ strade, una a sinistra e una a destra. In quella a sinistra ci sono $3$ ristoranti di cui $2$ soli sono aperti, mentre a destra ce ne sono $5$ di cui solo $3$ aperti. Calcolare
Poniamo:
La probabilità di trovare un ristorante aperto, per il Teorema sulla probabilità totale, possiamo calcolarla nel seguente modo
$$P(A)=P(A|D)P(D)+P(A|S)P(S)=\frac{3}{5}\frac{5}{8}+\frac{2}{3}\frac{3}{8}=\frac{5}{8}= 0,625$$
dove $P(A|D)$ è la probabilità di trovare un ristorante aperto supposto che è stato scelto nella strada di destra mentre $P(A|S)$ è quella di trovare un ristorante aperto supposto che è stato scelto nella strada di sinistra.
La probabilità di scegliere la strada di destra sapendo che ho trovato un ristorante aperto, per il Teorema di Bayes è:
$$P(D|A)=\frac{P(D\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|D)\cdot P(D)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{8}}{5/8}=\frac{3}{5}=0,6$$
Per trovare invece la probabilità di scegliere la strada di sinistra sotto la stessa condizione, posso riapplicare il teorema di Bayes oppure semplicemente notare che vale:
$$P(S|A)=\frac{P(S\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|S)\cdot P(S)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{3}\frac{3}{8}}{5/8}=\frac{2}{5}=0,4$$
Oppure piu' semplicemente:
$$P(S|A)=1-P(D|A)=1-0,6=0,4$$
Il colore del manto di una specie di gibboni è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l'allele "A" dominante del manto aranciato e l'allele "m" recessivo del manto marrone. La popolazione che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e sai che il 60% degli alleli nella popolazione sono "A" e il 40% sono "m". Qual è la probabilità che un gibbone preso a caso nella popolazione abbia il manto aranciato
Calcoliamo le probabilità dei diversi genotipi, $p_{AA}, p_{Am}$ e $p_{mm}$, usando la legge di Hardy-Weinberg essendo $p_A=0.6$ la frequenza dell'allele "A" e $p_m=0.4$ la frequenza dell'allele "m": $$\begin{eqnarray} p_{AA}&=& p_A\cdot p_A=0.6\cdot 0.6=0.36\\ p_{Am}&=& 2\cdot p_A\cdot p_m=2\cdot 0.4\cdot 0.6=0.48\\ p_{mm}&=& p_m\cdot p_m=0.4\cdot 0.4=0.16\end{eqnarray}$$
La probabilità che un gibbone abbia il manto aranciato è dato dalla somma delle probabilità di avere almeno un allele di tipo "A": $$p_{AA}+p_{Am}=0.36+0.48=0.84$$
Il genotipo del padre può essere $p_{AA}$ o $p_{Am}$, mentre quello della madre è necessariamente $p_{mm}$. La probabilità che il padre abbia il manto aranciato e la madre abbia il manto marrone è quindi: $$(p_{AA}+p_{Am})p_{mm}$$
Se il padre ha genotipo $p_{AA}$ il figlio ha sempre il manto aranciato, mentre se il padre ha genotipo $p_{Am}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $1/2$. Pertanto, la probabilità condizionata cercata è: $$\frac{\left(p_{AA}+\frac{1}{2}p_{Am}\right)p_{mm}}{(p_{AA}+p_{Am})p_{mm}}=\frac{5}{6}$$
Come per il punto precedente, il genotipo del padre può essere $p_{AA}$ o $p_{Am}$. Se è $p_{AA}$, il figlio ha sempre il manto aranciato, indipendentemente dal genotipo della madre. Se invece è $p_{Am}$, il manto del figlio dipende dal genotipo della madre: in particolare, se la madre è $p_{AA}$ il figlio ha sempre il manto aranciato, se la madre $p_{Am}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $3/4$, e se la madre è $p_{mm}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $1/2$. La probabilità condizionata cercata è quindi: $$\frac{p_{AA}+p_{Am}\left(p_{AA}+\frac{3}{4}p_{Am}+\frac{1}{2}p_{mm}\right)}{p_{AA}+p_{Am}}=\frac{93}{105}$$
Ragionando come sopra, se il padre ha genotipo $p_{AA}$ il figlio ha sempre il manto aranciato, se il padre ha genotipo $p_{Am}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $1/2$, mentre se il padre ha genotipo $p_{mm}$ il figlio non ha mai il manto aranciato. La probabilità condizionata è quindi: $$\frac{\left(p_{AA}+\frac{1}{2}p_{Am}\right)p_{mm}}{p_{mm}}=\frac{3}{5}$$
In questo caso il figlio non può avere il manto aranciato, la probabilità è quindi 0.
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Un'urna contiene 20 palline bianche, 60 nere e 20 rosse. Determinare la probabilità che, estraendo a caso 2 palline senza reinserimento:
Il 25% dei dipendenti di una casa editrice è costituito da maschi; il 30% di questi sono castani, mentre tra le femmine il 40% sono castane. Qual è la probabilità che, scegliendo a caso un dipendente, questi sia un castano?
Una scatola contiene le prime 14 lettere dell'alfabeto italiano. Estraendo una alla volta 3 lettere, senza rimetterle nella scatola, e leggendole nell'ordine in cui sono estratte, qual è la probabilità che si ottenga la parola DEA?
Una scatola contiene 3 palline nere e 2 rosse. Se estraiamo dalla scatola due palline contemporaneamente,
Abbiamo 2 urne: una contiene 8 palline rosse e 2 nere, l'altra 8 rosse e 8 nere. Scegliendo a caso una delle 2 urne, che probabilità esiste di estrarre una pallina rossa?
Si consideri una malattia che colpisce l'1% della popolazione.
Un test diagnostico ha una sensitività del 85% (probabilità di risultare positivo sui malati) e una specificità del 90% (probabilità di risultare negativo sui sani) (si esprima il risultato in forma decimale, con 2 cifre dopo la virgola). Calcolare
Si considerino 2 urne U1 e U2 contenenti palle rosse R e blu B. Si supponga che la prima urna contenga 45 palle rosse e 5 blu e che la seconda contenga 20 palle rosse e 60 blu. Si estrae una palla da una delle due urne in modo tale che la probabilità che la palla provenga dalla prima urne sia del 30%. Si determini
| Fumatrice | ||
| Madre | NO | SI |
| NO | 44 | 16 |
| SI | 88 | 53 |
Una ditta A produttrice di autovetture riceve da quattro fornitori A1, A2, A3 e A4 le pastiglie dei freni da installare sulle auto prodotte rispettivamente nelle seguenti percentuali: 65%, 20%, 10%, 5%. Sapendo che i quattro fornitori producono le pastiglie con una difettosità dichiarata rispettivamente del 2%, 2.5%, 4% e 10%, calcolare
Un urna con 2B, 3R e 4V. Supponendo estrazioni senza reimmisione, trovare
Siano X e Y v.a. discrete che assumono i valori 1,2,3 con probabilità 1/3, 1/2, 1/6 e 2/3, 1/6, 1/6 rispettivamente. Computate $P(X\le 2|X+Y=4)$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
