Il teorema di Bayes è un importante teorema del calcolo delle probabilità che si utilizza per calcolare le probabilità condizionate. Qui di seguito te lo enuncio in due forme equivalenti che ti permetteranno di poterlo applicare nei tuoi esercizi di calcolo delle probabilità.
Versione semplificata del Teorema di Bayes
In parole semplici, il Teorema di Bayes dice che dati due eventi A e B dipendenti, con B evento condizionante e A evento condizionato (da B), la probabilità condizionata A dato B è uguale al rapporto tra la probabilità dell'intersezione dei due eventi A e B e la probabilità dell'evento condizionante B, in formule
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}}$$
Questa versione semplificata del Teorema di Bayes può anche essere riscritta invertendo il ruolo dei due eventi, ossia considerando A come evento condizionante e B come evento condizionato (da A):
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(B|A)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}}$$
Ho registrato un video in cui ti spiego il Teorema di Bayes con un esempio reale
Oppure leggi l'esercizio su Bayes che trovi qui di seguito.
Esempio
Un'urna contiene palline bianche nere, 16 in tutto. Si estraggono due palline senza reimmissione e si sa che la probabilità di estrarre una pallina nera alla prima estrazione e una bianca alla seconda è di 0.25. Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca alla seconda estrazione supposto che alla prima sia stata estratta una nera supponendo che la probabilità di estrarre una pallina nera alla prima estrazione sia 0.3.
Siano
$N_1$= si estrae una pallina nera alla prima estrazione (evento condizionante)
$B_2$= si estrae una pallina bianca alla seconda estrazione (evento condizionato)
Dal testo dell'esercizio si ha che la probabilità dell'intersezione tra $N_1$ e $B_2$ ($P(N_1\cap B_2))$ è pari a 0.25 mentre la probabilità di estrarre una pallina nera alla prima estrazione ($P(N_1)$) è di 0.3. Quindi, la probabilità richiesta è:
$$P(B_2|N_1)=\cfrac{P(N_1\cap B_2)}{P(N_1)}=\cfrac{0.25}{0.3}=0.8333$$
Enunciato formale del Teorema di Bayes
Probabilmente la formula di Bayes che il tuo prof ti ha mostrato o che hai letto nei libri non corrisponde proprio a quella che ti ho fatto vedere sopra. Per tale motivo, in questo paragrafo ti enuncerò il teorema di Bayes in un modo equivalente a quello appena visto ma più formale.
Sia $A$ un evento con $P(A)>0$ e $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ una famiglia di eventi dello spazio campione S soddisfacenti le ipotesi del teorema della probabilità totale (i $B_i$ sono eventi incompatibili che esauriscono tutto lo spazio campione S). Allora
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(B_k|A)=\cfrac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)}\quad\forall k=1,2,\dots ,n}$$
La formula di Bayes in maniera estesa può essere scritta nel seguente modo:
$$P(B_k|A)=\cfrac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+\dots P(A|B_n)\cdot P(B_n)}\quad\LARGE\star$$
In sostanza, il Teorema di Bayes ti permette di trovare le probabilità degli eventi $B_k$ che possono essere la causa del verificarsi dell'evento A.
Questa formulazione del Teorema di Bayes coincide con quella semplificata che ti ho scritto prima, infatti la probabilità al numeratore della formula di Bayes $P(A|B_k)\cdot P(B_k)$ non è altro che la probabilità dell'intersezione tra i due eventi $A$ e $B_k$ mentre la somma al denominatore non è altro che la probabilità dell'evento condizionato $A$ riscritta mediante il teorema della probabilità totale. Quindi, possiamo riscrivere $\LARGE\star$ equivalentemente come
$$P(B_k|A)=\cfrac{P(A\cap B_k)}{P(A)}$$
Adesso ti insegno ad applicare Bayes con un esempio. Ricorda che la cosa più importante è riuscire a estrapolare dal testo gli eventi in questioni e saper tradurre le probabilità in formule.
Applicazione del teorema di Bayes
Per produrre uno stesso tipo di prodotto sono impiegate 3 diverse macchine, $M_1,M_2,M_3$, che producono pezzi difettosi con le rispettive probabilità: 1%, 2% e 0,1%. Le 3 macchine producono rispettivamente il 30%, il 50% e il 20% della produzione totale.
- Qual è la probabilità che un pezzo uscito dalla fabbrica sia difettoso?
- Qual è la probabilità che un pezzo difettoso sia stato prodotto dalla macchina $M_2$?
Definiamo l'evento D="pezzo difettoso". Scriviamo i dati del problema.
$\begin{array}{l} P(M_1)=30\%=0,3\quad\quad P(D|M_1)=1\%=0,01\\ P(M_2)=50\%=0,5\quad\quad P(D|M_2)=2\%=0,02\\ P(M_3)=20\%=0,2\quad\quad P(D|M_3)=0,1\%=0,001\end{array}$
Risolviamo il punto 1) applicando il teorema della probabilità (non importa quale macchinario l'ho produce):
$$\begin{array}{l} P(D)=P(D|M_1)\cdot P(M_1)+P(D|M_2)\cdot P(M_2)+P(D|M_3)\cdot P(M_3)=\\ =0,01\cdot 0,3+0,02\cdot 0,5+0,001\cdot 0,2=0,0132\end{array}$$
Rispondiamo al punto 2) applicando il teorema di Bayes:
$$\begin{eqnarray}P(M_2|D)&=&\frac{P(D|M_2)\cdot P(M_2)}{P(D|M_1)\cdot P(M_1)+P(D|M_2)\cdot P(M_2)+P(D|M_3)\cdot P(M_3)}\\&=&\frac{0,02\cdot 0,5}{0,0132}=0,7576\end{eqnarray}$$
