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Teorema di Bayes In evidenza

Teorema della probabilità totale

Sia $A$ un evento e $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ una famiglia di eventi dello spazio campione S che godono delle seguenti proprietà:

  • $B_i\cap B_j=\emptyset\quad\forall i\neq j\quad\mbox{(mutuamente esclusivi)}$
  • $B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_n=S\quad\mbox{(esaustivi)}$
  • $P(B_i)\neq 0\quad\forall i$

Allora si dimostra che

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+\dots +P(A|B_n)\cdot P(B_n)=\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)}$$

Dimostrazione del teorema della probabilità totale

Per dimostrare questo risultato è sufficiente osservare che se A si verifica, esso deve verificarsi insieme ad uno e uno solo degli eventi $B_1,B_2,\dots ,B_n$, perciò:

$$P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\dots +P(A\cap B_n)$$

Applicando la regola di moltiplicazione si ha:

$$P(A\cap B_i)=P(B_i)\cdot P(A|B_i)$$

Sostituendo quest'ultima relazione nella precedente, si ottiene la tesi.

Applicazione del teorema della probabilità totale

Siano date due urne $U_1$ e $U_2$. La prima urna contiene 2 palline rosse e 1 nera, mentre la seconda urna contiene 3 palline rosse e 2 nere. Scegliamo a caso un'urna ed estraiamo a caso una pallina dall'urna scelta. Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera?

Consideriamo gli eventi

  • $B_1=\mbox{è stata scelta }U_1$
  • $B_2=\mbox{è stata scelta }U_2$
  • $A=\mbox{è stata estratta una pallina nera}$

Sono ampiamente verificate tutte le ipotesi del teorema della probabilità totale:

$$B_1\cap B_2=\emptyset\quad\quad B_1\cup B_2=S$$

Possiamo applicare il teorema:

$$P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{30}=0,3667$$

Infatti

$$P(B_1)=P(B_2)=\frac{1}{2}\quad\mbox{e}\quad P(A|B_1)=\frac{1}{3},\quad P(A|B_2)=\frac{2}{5}$$

Teorema di Bayes

Sia $A$ un evento con $P(A)>0$ e $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ una famiglia di eventi dello spazio campione S soddisfacenti le ipotesi del teorema della probabilità totale. Allora

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)}\quad\forall k=1,2,\dots ,n}$$

Questo teorema ci permette di trovare le probabilità degli eventi $B_k$ che possono essere la causa del verificarsi dell'evento A.

Applicazione del teorema di Bayes

Per produrre uno stesso tipo di prodotto sono impiegate 3 diverse macchine, $M_1,M_2,M_3$, che producono pezzi difettosi con le rispettive probabilità: 1%, 2% e 0,1%. Le 3 macchine producono rispettivamente il 30%, il 50% e il 20% della produzione totale.

  1. Qual è la probabilità che un pezzo uscito dalla fabbrica sia difettoso?
  2. Qual è la probabilità che un pezzo difettoso sia stato prodotto dalla macchina $M_2$?

Definiamo l'evento D="pezzo difettoso". Scriviamo i dati del problema.

$\begin{array}{l} P(M_1)=30\%=0,3\quad\quad P(D|M_1)=1\%=0,01\\ P(M_2)=50\%=0,5\quad\quad P(D|M_2)=2\%=0,02\\ P(M_3)=20\%=0,2\quad\quad P(D|M_3)=0,1\%=0,001\end{array}$

Risolviamo il punto 1) applicando il teorema della probabilità (non importa quale macchinario l'ho produce):

$$\begin{array}{l} P(D)=P(D|M_1)\cdot P(M_1)+P(D|M_2)\cdot P(M_2)+P(D|M_3)\cdot P(M_3)=\\ =0,01\cdot 0,3+0,02\cdot 0,5+0,001\cdot 0,2=0,0132\end{array}$$

Rispondiamo al punto 2) applicando il teorema di Bayes:

$$\begin{eqnarray}P(M_2|D)&=&\frac{P(D|M_2)\cdot P(M_2)}{P(D|M_1)\cdot P(M_1)+P(D|M_2)\cdot P(M_2)+P(D|M_3)\cdot P(M_3)}\\&=&\frac{0,02\cdot 0,5}{0,0132}=0,7576\end{eqnarray}$$

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