La probabilità condizionata si definisce quando si hanno due eventi A e B le cui probabilità di verificarsi dipendono l'uno dall'altro. In altre parole, ad esempio, la probabilità dell'evento B è condizionata (può variare, è influenzato, ecc...) dal verificarsi o meno dell'evento A. In questo caso chiameremo A l'evento condizionante e B l'evento condizionato (da A appunto).
Per capirlo meglio ti porto un esempio di probabilità condizionate.
Esempio
Si effettua un lancio di un dado; consideriamo i seguenti eventi:
- A="esce un numero dispari"={1,3,5}.
- B="esce un numero minore di 4={1,2,3}.
Calcoliamo la probabilità di ottenere un numero minore di 4, sapendo che il risultato è un numero dispari
Le probabilità degli eventi A e B possono essere calcolate utilizzando la definizione di probabilità matematica
$\begin{array}{l} P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\quad\quad(\mbox{perchè i casi favorevoli sono 3 mentre i casi equipossibili sono 6})\\ P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\quad\quad(\mbox{perchè i casi favorevoli sono 3 mentre i casi equipossibili sono 6})\end{array}$
Se sapessimo che l'evento A si è già verificato, i casi possibili per l'evento B non sarebbero più 6 ma si ridurrebbero a 3 ovvero {1,2,3}, mentre i casi favorevoli sarebbero solo 2 ({1,3}). Sotto questa condizione, la probabilità che si ottiene è:
$P(B|A)=\frac{2}{3}=0,667$
Dall'esercizio precendente possiamo osservare come la probabilità condizionata sia maggiore della probabilità calcolata precendentemente.
La probabilità condizionata P(B|A) (leggi probabilità di B dato A) è la probabilità del verificarsi dell'evento B sapendo che l'evento A si è già verificato.
Se $P(A)\neq 0$ si definisce la probabilita di B condizionata ad A come segue:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\quad\LARGE\star$$
Se invece è $P(B)\neq 0$ si definisce la probabilita di A condizionata ad B:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\quad\LARGE\star\star$$
La formula della probabilità condizionata è più propriamente chiamata formula di Bayes o Teorema di Bayes (fai click sul nome per approfondire)
Dalle $\LARGE\star$ e $\LARGE\star\star$ seguono due formule inverse che stabiliscono la cosiddetta regola di moltiplicazione:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{array}{l} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)\quad\quad\mbox{se } P(A)\neq 0\\ P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\quad\quad\mbox{se } P(B)\neq 0\end{array}}$$
Esempio
Data un’urna contenente 15 palline rosse e 5 palline nere, indichiamo con A l’evento "estrazione di pallina rossa" e con B l’evento "estrazione di pallina nera". Calcoliamo la probabilità di ottenere in due estrazioni consecutive prima una pallina rossa e poi una nera, nell’ipotesi che la prima pallina estratta non venga rimessa nell’urna.
La probabilità di estrarre una pallina rossa alla prima estrazione è
$P(A)=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$
Visto che alla seconda estrazione ci saranno in tutto 19 palline, la probabilità di estrarre una pallina nera dopo l'estrazione senza reimmissione della pallina rossa, è la probabilità condizionata
$P(B|A)=\frac{5}{19}$
La probabilità richiesta dall'esercizio èquivale alla probabilità che gli eventi A e B si verifichino contemporaneamente considerando che la prima estrazione viene effettuata senza reimmissione:
$P(A\cup B)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{19}=\frac{15}{76}=0,1974$
Se invece la prima pallina fosse stata reintrodotta nell'urna, la probabilità di ottenere prima una pallina rossa e poi una nera sarebbe stata:
$P(A\cup B)=\frac{15}{20}\cdot\frac{5}{20}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{16}=0,1875$
Eventi indipendenti e incompatibili
Può accadere che la probabilità P(B|A) sia uguale a P(B). Questo succedo quando il verificarsi dell'evento B è indipendente dal verificarsi o meno dell'evento A. Si ha infatti la seguente definizione.
Due eventi A e B si dicono indipendenti se la probabilità dell'evento A non dipende dal verificarsi o meno dell'evento B, ossia $P(B|A)=P(B)$. In tal caso si ha pure il viceversa, ovvero $P(A|B)=P(A)$.
Ne segue la seguente regola nel caso di eventi indipendenti:
Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti: se due eventi A e B sono indipendenti, si ha:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$$
Esempio
Trovare la probabilità che in due lanci di un dado si presenti almeno una volta il 5.
Definiamo gli eventi:
- A="5 al primo lancio"
- B="5 al secondo lancio"
- A$\cup$ B="5 al primo oppure al secondo lancio"
Banalmente si ha $P(A)=P(B)=\frac{1}{6}$.
Poichè gli eventi non sono mutuamente esclusivi, per la regola additiva si ha:
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Inoltre, poichè gli eventi A e B sono indipendenti, possiamo calcolare $P(A\cap B)$:
$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$
Dunque,
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}$
Relazione tra eventi incompatibili ed eventi indipendenti
Si osservi che eventi mutuamente esclusivi, (ossia disgiunti o incompatibili), non possono essere indipendenti, perchè se $A\cap B=\emptyset$ allora $P(A\cap B)=0\quad\Leftrightarrow\quad P(A)=0\ \mbox{oppure}\ P(B)=0$, cioè almeno uno dei due eventi deve essere impossibile.
In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti, perchè essere disgiunti vuol dire che se uno si verifica, allora l'altro non si può verificare.
