Calcolo forza imposta su un disco in equilibrio statico su un piano scabro

Si consideri un disco omogeneo di raggio $R=20cm$ e massa $M=10kg$. Il disco è appoggiato su un piano scabro. Sul disco è saldato un punto materiale di massa $m=M/3$, ad una distanza $r=R/2$ dal centro del disco e un angolo di $60°$ rispetto alla verticale. Il sistema è mantenuto in equilibrio statico da una forza $F$ applicata in direzione orizzontale sull'estremo superiore del disco, come mostrato in figura. Si calcoli il valore di $F$.

Disco in equilibrio statico

Grafichiamo la forza di attrito che agisce sul disco e la forza peso che agisce sul punto materiale.

Forze agenti su un disco in equilibrio statico su un piano con attrito

Imponiamo la prima condizione di equilibrio (o seconda legge della dinamica) lungo la direzione orizzontale per ricavarci il valore della forza di attrito dovuta al piano e agente sul disco in direzione opposta alla forza $F$: $$\begin{array}{l} \sum F_x =0\\ F-F_a=0\\ F_a=F\ \bigstar \end{array}$$

La seconda condizione di equilibrio lungo la direzione verticale è data dalla sommatoria dei momenti delle forze (prodotto vettoriale tra forza e braccio) agenti sul disco. In particolare, considerando che

  1. il momento della forza di attrito $F_a$ rispetto al polo O è $F_a\cdot R$ (l'angolo formato dalla forza e dal braccio (raggio) è di 90° come mostra la figura in basso)
  2. il momento della forza di attrito $F$ rispetto al polo O è $F\cdot R$ (analogo al punto 1)

    Schema forza-braccio per il calcolo del momento della forza

  3. il momento della forza peso agente sulla massa $m$ rispetto al polo O è $mg\cdot\frac{R}{2}\sin(120°)$

    Individuazione dell'angolo formato tra forza peso e braccio rispetto al polo

la seconda equazione cardinale sull'equilibrio dei corpi rigidi è: $$F_a\cdot R + F\cdot R - mg\cdot\frac{R}{2}\sin(120°)=0$$

Semplifichiamo quest'ultima equazione tenendo conto della $\bigstar$ e calcoliamo il valore di $F$: $$\begin{array}{l} F\cdot R + F\cdot R - mg\cdot\frac{R}{2}\sin(2\pi /3)=0\\ R\left(2F-\frac{m}{2}g\sin(2\pi /3)\right)=0\\ 2F=\frac{M}{6}g\sin(2\pi /3)\\ F=\frac{M}{12}g\sin(2\pi /3)=7,08N\end{array}$$

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