Un blocco di massa $m=1kg$ viene lanciato con velocità iniziale $v_0=3m/s$ su per un piano inclinato scabro. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano è $\mu_d=0.2$ e che l'angolo di inclinazione del piano con l'orizzontale è $\theta=30°$, calcolare:
- la distanza $d$ percorsa dal blocco lungo il piano, prima di fermarsi; (risoluzione)
- il tempo impiegato a percorrere tale distanza; (risoluzione)
- quanto dovrebbe valere il coefficiente di attrito statico $\mu_s$ affinchè, una volta percorsa la distanza $d$, il blocco resti fermo? (risoluzione)
- se il coefficiente di attrito statico è $\mu_s=0.3$, con quale velocità il blocco torna alla base del piano inclinato? (risoluzione)
Svolgimento
Come possiamo vedere dal disegno soprastante, le forze che agiscono sul corpo sono:
- la forza peso $P=mg$ diretta verso il basso;
- la reazione vincolare $N$ del piano, opposta a $P$ che sostiene la massa;
- la forza di attrito $F_a$ dovuta all'attrito del piano e diretta nel verso opposto al senso di marcia.
In particolare, lungo la direzione verticale agiscono la componente verticale della forza peso $P_y$ e la normale $N$. Per il secondo principio di Newton, la sommatoria di queste due forze è nulla, dato che il corpo nè si solleva, nè sprofonda (in altre parole, resta in equilibrio lungo $y$). Quindi, l'equazione della dinamica lungo la direzione verticale è: $$N-P_y=0$$ dove $P_y=mg\cos\theta$ (applicando il teorema sul triagolo rettangolo di cateti $P_y$ e $P_x$). Possiamo, dunque, ricavare la reazione vincolare: $$N=mg\cos\theta$$
Invece, lungo la direzione orizzontale (quella del piano) agiscono la componente orizzontale della forza peso $P_x$ e la forza d'attrito $F_a$. Lungo questa direzione, però, il corpo non si trova in equilibrio a causa della spinta iniziale che gli viene impressa; di conseguenza, l'equazione che esprime il secondo principio della dinamica lungo l'asse $x$ è: $$-F_a-P_x=ma$$ dove $F_a=\mu_dN$ (definizione di forza di attrito) e $P_x=mg\sin\theta$ (applicando il solito il teorema sul triagolo rettangolo di cateti $P_y$ e $P_x$). Notiamo,inoltre, che nell'equazione precedente abbiamo messo il segno meno a tutte le forze che hanno verso opposto a quello dello spostamento del corpo.
Sostituendo le espressioni di $F_a$ e $P_x$ (e quindi, anche quella di $N$) nell'equazione della dinamica, otteniamo l'accelerazione $a$: $$\begin{array}{l} -\mu_dmg\cos\theta-mg\sin\theta=ma\\ a=-(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g\end{array}$$
Al fine di determinare la distanza d, osserviamo che il moto del corpo è un moto uniformemente accelerato e le espressioni della velocità e dello spostamento sono: $$\begin{cases} v=v_0+at\\ x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\end{cases}$$ nelle quali bisogna imporre $v=0$ (velocità finale del corpo nel punto di ascissa $d$), $a=-(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g$ (calcolata in precedenza), $x=d$ (distanza percorsa dal corpo) e $x_0=0$ (punto di ascissa iniziale del moto del corpo): $$\begin{cases} 0=v_0-(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)gt\\ d=v_0t-\frac{1}{2}(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)gt^2\end{cases}$$
Ricavando facilmente il tempo dalla prima equazione $t=\frac{v_0}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}$ e sostituendolo nella seconda, otteniamo la distanza $d$ cercata: $$\begin{eqnarray} d&=&v_0\cdot\frac{v_0}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}-\frac{1}{2}\cancel{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)}\cancel{g}\cdot \frac{v_0^2}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)^{\cancel{2}}g^{\cancel{2}}}=\\ &=&\frac{v_0^2}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}-\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}=\\ &=&\frac{v_0^2}{2(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}=\frac{3^2}{2(0.2\cdot\cos30°+\sin30°)\cdot 9.81}=0.68m\end{eqnarray}$$
L'espressione del tempo impiegato per percorrere tale distanza è già stata trovata e possiamo immediatamente calcolarlo: $$t=\frac{v_0}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}=\frac{3}{(0.2\cdot\cos30°+\sin30°)\cdot 9.81}=0.45s$$
Il coefficiente di attrito statico che il piano dovrebbe avere affinchè il corpo non scivoli (quando il corpo è in equilibrio la sommatoria delle forze agenti è nulla), si determina applicando la seconda legge di Newton lungo il piano, ovvero: $$-F_s+P_x=0$$ dove, sapendo che la forza di attrito statico è $F_s=\mu_sN$, risulta: $$-\mu_s mg\cos\theta+mg\sin\theta=0$$
Da quest'ultima, otteniamo $\mu_s$: $$\mu_s=\frac{\cancel{mg}\sin\theta}{\cancel{mg}\cos\theta}=\tan\theta=\tan 30°=0.58$$
Per ricavare la velocità finale del blocco in discesa è necessario considerare l'equazione della dinamica precedente dove stavolta al secondo membro deve esserci il termine $ma$: $$-F_s+P_x=ma$$ da cui $$a=\frac{-F_s+P_x}{m}=\frac{-\mu_smg\cos\theta+mg\sin\theta}{m}=-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)$$
A questo punto, consideriamo nuovamente le equazioni della velocità e dello spostamento del corpo in discesa che si muove di moto uniformemente accelerato: $$\begin{cases} v=v_0+at\\ x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\end{cases}$$ Sostituendo il valore di $a$ nella seconda,dopo alcuni passaggi, ricaviamo il tempo: $$t=\sqrt{\frac{2d}{-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)}}$$
La velocità $v$ si ricava, infine dalla prima equazione sostituendo $a$ e $t$ e $v_0=0$: $$v=-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\sqrt{\frac{2d}{-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)}}=\sqrt{-2dg(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)}=2.17m/s$$
