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Esercizi sulla dinamica, il lavoro e l'energia

Applicazione della seconda legge di Newton al moto circolare

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Un corpo puntiforme di massa $m = 20 g$, vincolato ad una fune, ruota nel piano verticale come mostrato in figura. La fune si spezza quando il corpo si trova alla sommità della traiettoria circolare di raggio $R = 2 m$ (punto C). Sapendo che il corpo, una volta libero dalla fune, ricade al suolo nel punto A ad una distanza $d = 10 m$ dal centro della circonferenza, calcolare il valore della tensione della fune nel punto C e la velocità del corpo nel punto B.

Esercizio 1

Corpo vincolato ad una fune che compie una traiettoria circolare

Un corpo che si muove con velocità costante su una circonferenza di raggio $R$ ha un'accelerazione centripeta $$a_c=\frac{v^2}{R}$$

Il vettore accelerazione con questo modulo, è diretto verso il centro della circonferenza ed è sempre perpendicolare a $v$. In accordo con la legge di Newton, se c'è un'accelerazione vi deve essere una forza netta diretta verso il centro della circonferenza perchè l'accelerazione ha quella direzione. Indipendentemente dalla natura della forza agente sul corpo in moto circolare, possiamo applicare la seconda legge di Newton al corpo lungo la direzione radiale: $$T=ma_c=m\frac{v^2}{R}$$

Tensione, accelerazione e velocità di un corpo che si muove lungo una circonferenza

La velocità $v$ nel punto C, essendo tangente alla circonferenza, ha solo la componente orizzontale ($v=v_x$) e non è altro che la velocità iniziale le moto uniformemente accelerato che il corpo compierà una volta staccatosi dalla fune. Per tale ragione, ricaviamo $v$ risolvendo il sistema tra le due equazioni dello spostamento del corpo durante il moto suddetto: $$\begin{cases} x=x_0+v_xt+\frac{1}{2}a_xt^2\\ y=y_0+v_yt+\frac{1}{2}a_yt^2\end{cases}$$ dove $x_0=0$ e $y_0=2R$ sono le coordinate del punto C, $v_x=v$ e $v_y=0$ per quanto detto sopra, $a_x=0$ e $a_y=-g$. Sostituendo tali valori, e imponendo che le coordinate del punto finale del corpo siano $(d,0)$, si ha: $$\begin{cases} d=vt\\ 0=2R-\frac{1}{2}gt^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} v=\frac{d}{t}\\ \frac{1}{2}gt^2=2R\end{cases}$$

Ricavando il tempo $t=\sqrt{\frac{4R}{g}}$ dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima, otteniamo la velocità del corpo nel punto C che coincide anche con la velocità nel punto B, essendo costante durante tutto il moto circolare: $$v=d\sqrt{\frac{g}{4R}}=10\sqrt{\frac{9.81}{4\cdot 2}}=11.07\frac{m}{s}$$

Trovata la velocità, possiamo ricavarci la tensione della corda: $$T=m\frac{v^2}{R}=0.02\cdot\frac{11.07^2}{2}=1.23N$$

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