Benvenuto nella sezione degli esercizi sulla distribuzione di Poisson. Qui trovi tantissimi applicazioni alla distribuzione di probabilità di Poisson (clicca sul link per approfondire) che ti aiuteranno a capire quando una variabile aleatoria discreta ha distribuzione di Poisson.
Il responsabile della produzione di un'azienda ha rilevato che, negli ultimi 100 giorni, si sono riscontrate 10 anomalie. Qual è la probabilità di almeno 2 guasti nei 3 giorni successivi?
Indicando con $X$ il numero di guasti che capitano nell'intervallo [0,100], possiamo dire che $X$ ha distribuzione di Poisson con parametro o valore medio $\lambda=10$ $$X\sim P(10)$$
Il valore medio di guasti giornalieri risulta essere: $$\alpha=\frac{10}{100}=0.1$$
Dunque, se indichiamo con $Y$ il numero di guasti che si verificano nell'arco di tre giorni, troviamo che $Y\sim P(3\cdot 0.1)=P(0.3)$, ossia 0.3 è il valore medio del processo di Poisson in questione. La probabilità che si verificano almeno 2 guasti in 3 giorni è data da: $$\begin{eqnarray*} P(Y\geq 2) &=& 1-P(Y\leq 1)=\\ &=& 1-P(Y=0)-P(Y=1)=(\star)\end{eqnarray*}$$ dove (utilizzando la formula della funzione di densità della variabile di Poisson) $$\begin{eqnarray*} P(Y=0) &=& \frac{e^{-0.3}0.3^0}{0!}=0.7408\\ P(Y=1) &=& \frac{e^{-0.3}0.3^1}{1!}=0.2222\end{eqnarray*}$$
La probabilità cercata è infine $$(\star) =1-0.7408-0.2222=0.037$$
Un'azienda ha due linee di montaggio e ognuna di queste si ferma mediamente 2.4 volte la settimana. Assumendo che il funzionamento delle linee sia indipendente, calcolare la probabilità che almeno una delle due linee si fermi almeno una volta in una determinata settimana.
Siano $L_1$ e $L_2$ le variabili aleatorie che indicano rispettivamente il numero di volte che la linea 1 e la linea 2 si fermano. Entrambe le variabili hanno distribuzione di Poisson con valore medio $\lambda=2.4$.
Essendo il funzionamento delle due linee equiprobabile, la probabilità di fermo della linea 1 è uguale a quella della linea 2, quindi: $$\begin{eqnarray} P(L_1\geq 1)&=&P(L_2\geq 1)=1-P(L_2 = 0)=\\ &=&1-\frac{e^{-2.4}2.4^0}{0!}=0.91\end{eqnarray}$$
La probabilità richiesta, è data dall'unione degli eventi $L_1\geq 1$ e $L_2\geq 1$ e quindi la probabilità si calcola mediante la formula: $$P(L_1\geq 1\cup L_2\geq 1)=P(L_1\geq 1)+P(L_2\geq 1)-P(L_1\geq 1\cap L_2\geq 1)=(\star\star)$$
Essendo le due linee indipendenti, la probabilità dell'intersezione tra i due eventi è data dal prodotto delle due probabilità: $$P(L_1\geq 1\cap L_2\geq 1)=P(L_1\geq 1)\cdot P(L_2\geq 1)=0.91^2$$
Concludendo si ha: $$(\star\star)=0.91+0.91-0.91^2=0.9919$$
Le mail in arrivo presso un server provengono da 2 linee nel seguito indicate come linea A e linea B. Il numero di mail dell'una e dell'altra linea è una variabile casuale che segue una distribuzione di Poisson nel tempo e le due variabili casuali sono indipendenti tra loro. È stato stimato che arrivano mediamente 3 mail ogni 3 ore e 20 minuti dalla linea A e una mail ogni 40 minuti dalla linea B.
a) Calcoliamo dapprima il numero medio di mail al minuto che provengono dalla linea A e dalla linea B, osservando che 3 ore e 20 minuti corrispondono a 200 minuti.
$$\begin{array}{l} \alpha_A=\frac{3}{200}=0,015\\ \alpha_B=\frac{1}{40}=0,025\end{array}$$
Vengono così definiti i 2 processi di Poisson: $N_A(t)\sim P(\alpha_At)$ e $N_B(t)\sim P(\alpha_Bt)$
Inoltre, tra le 8 e le 12 ci sono 4 ore, ossia, 240 minuti. Dunque
$t=240$
Premesso ciò, la probabilità richiesta al punto a) è $P(N_{tot}(240)=4)$ dove $N_{tot}(t)\sim P\left[(\alpha_A+\alpha_B)t\right]$. Calcoliamola.
$$\begin{array}{l} \alpha_{tot}=\alpha_A+\alpha_B=0,015+0,025=0,04\\ P(N_{tot}(240)=4)=\frac{e^{-\alpha_{tot}240}\cdot (\alpha_{tot}240)^4}{4!}=\frac{e^{-0,04\cdot 240}\cdot (0,04\cdot 240)^4}{4!}=\frac{e^{-9,6}\cdot (9,6)^4}{24}=\frac{8493,4656}{e^{9,6}\cdot 24}=0,024\end{array}$$
b) Mentre, la probabilità del punto b) è una probabilità condizionata:
$$P(N_A(240)=1|N_{tot}(240)=3)=\frac{P(N_A(240)=1\cap N_{tot}(240)=3)}{P(N_{tot}(240)=3)}$$
La probabilità dell'intersezione presente al numeratore della precedente frazione equivale alla probabilità che arrivino contemporaneamente 1 mail dalla linea A e 2 mail dalla linea B e quindi:
$$\begin{array}{l} \frac{P(N_A(240)=1\cap N_B(240)=2)}{P(N_{tot}(240)=3)}=\frac{P(N_A(240)=1)\cdot P(N_B(240)=2)}{P(N_{tot}(240)=3)}=\\ \frac{\frac{e^{-3,6}\cdot (3,6)^1}{1!}\cdot \frac{e^{-6}\cdot (6)^2}{2!}}{\frac{e^{-9,6}\cdot (9,6)^3}{6}}=\frac{e^{-9,6}\cdot 388,8}{e^{-9,6}\cdot 884,736}=0,9345\end{array}$$
Un'industria tessile produce pezzi (altezza stoffa pari a $1,50m$) di stoffa in cui in media è presente un difetto ogni $15m^2$. Supponendo che il numero dei difetti segna una distribuzione di Poisson sulla superficie:
a) Ponendo $N_{\alpha}(t)=$ "numero difetti in una stoffa lunga $t$", si ha:
$$N_{\alpha}(t)\sim P(\alpha t),\quad\mbox{con }\alpha=\frac{1}{15}$$
Indicata con $L$ la lunghezza della stoffa, e ricondando che l'intervallo tra due eventi successivi di Poisson si distribuisce come una esponenziale di parametro $\lambda=\alpha$, si ha che $L\sim EXP\left(\frac{1}{15}\right)$. Quindi, la probabilità richiesta al punto a) è:
$$P(L < 3)=1-e^{-\alpha t}=1-e^{-\frac{1}{15} 3}=1-e^{-\frac{1}{5}}$$
In alternativa, tale probabilità può essere pensata come la probabilità che il numero di difetti in un pezzo di stoffa lungo 3 metri sia almeno 1:
$$P(N_{\alpha}(3)\ge 1)=1-P(N_{\alpha}(3)=0)=1-\frac{e^{-\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}\right)^0}{0!}=1-e^{-\frac{1}{5}}$$
b) La probabilità del punto b) non è altro che:
$$\begin{array}{l}&P(N_{\alpha}(25)\ge 3)=1-P(N_{\alpha}(25)\le 2)=\\ &=1-P(N_{\alpha}(25)=0)-P(N_{\alpha}(25)=1)-P(N_{\alpha}(25)=2)\simeq\\ &\simeq 1-0,766 = 0,234\end{array}$$
c) Infine, indicata con $p=P(N_{\alpha}(25)\le 2)=0,766$ la probabilità calcolata al punto precendente, e con $X$ il numero scampoli da $25m^2$ con al più 2 difetti, si ha che $X$ ha distribuzione binomiale con parametri $n=200$ e probabilità p$. Quindi:
$$P(X=2)={200\choose 2}p^2(1-p)^{198}$$
Osserviamo che la probabilità in questione risulta molto piccola dato il numero elevato delle prove.
Si ipotizza che il numero di autovetture che transitano in un certo punto dell'autostrada durante le ore centrali di una giornata feriale in inverno sia approssimativamente distribuito secondo un processo di Poisson con un numero medio di passaggi pari a $3$ al minuto. Il numero di camper che transitano nello stesso tratto è anch'esso approssimabile con un processo di Poisson con un numero medio di passaggi pari a $0,2$ al minuto.
Ponendo $N_A(t)=$ "numero di autovetture che transitano al tempo $t$" e $N_C(t)=$ "numero di camper che transitano al tempo $t$", si ha:
$$\begin{array}{l} N_A(t)\sim P(\alpha_A t)\quad\mbox{con }\alpha_A=3\ \mbox{(al minuto)}\\ N_C(t)\sim P(\alpha_C t)\quad\mbox{con }\alpha_C=0,2\ \mbox{(al minuto)}\end{array}$$
Inoltre, dato che $N_A(t)$ e $N_B(t)$ sono indipendenti, si ha che il numero totale di veicoli (autovetture + camper) che transitano per l'autostrada è anch'esso un processo di poisson:
$$N_{TOT}(t)\sim P((\alpha_A+\alpha_C)\cdot t)$$
La probabilità richiesta nel punto a) è una probabilità condizionata:
$$P(N_C(10)=1|N_{TOT}(10)=10)=\frac{P[N_C(10)=1\cap N_A(10)=10]}{P(N_{TOT}(10)=10)}$$
dove la probabilità dell'intersezione dei due eventi presente al numeratore può essere calcolata facendo come prodotto delle singole probabilità data l'indipendenza tra i due eventi:
$$P[N_C(10)=1\cap N_A(10)=10]=P(N_C(10)=1)\cdot P(N_A(10)=10)$$
Invece, la probabilità richiesta al punto b) equivale alla probabilità che in $30$ secondi (ossia $0,5$ minuti) non passi nessun veicolo:
$$P(N_{TOT}(0,5)=0)=\frac{e^{-(\alpha_A+\alpha_C)t}\cdot (\alpha_A+\alpha_C)^0}{0!}=e^{-1,6}$$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
