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Esercizi sulle variabili aleatorie e le distribuzioni di probabilità

Esercizi sul calcolo della covarianza e del coefficiente di correlazione

In questa lezione puoi consultare una serie di esercizi svolti riguardanti il calcolo della covarianza e del coefficiente di correlazione tra variabili aleatorie.

  1. Calcolo del coefficiente di correlazione lineare tra X+Z e Z-Y
 
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Siano X, Y e Z tre variabili casuali mutuamente non correlate con varianza $\sigma^2$. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra X+Z e Z-Y.

Esercizio 1

Poichè le tre variabili sono mutuamente incorrelate si ha:

$$COV(X,Y)=0\quad\quad COV(X,Z)=0\quad\quad COV(Y,Z)=0$$

Inoltre,

$$VAR(X)=VAR(Y)=VAR(Z)=\sigma^2$$

Ricordiamo che il coefficiente di correlazione lineare tra X+Z e Z-Y è dato da:

$$\rho_{X+Z,Z-Y}=\frac{COV(X+Z,Z-Y)}{\sqrt{VAR(X+Z)\cdot VAR(Z-Y)}}$$

Calcoliamo la covarianza presente al numeratore:

$\begin{array}{l} COV(X+Z,Z-Y)&=COV(X,Z-Y)+COV(Z,Z-Y)=\\ &=COV(X,Z)+COV(X,-Y)+COV(Z,Z)+COV(Z,-Y)=\\ &=COV(X,Z)-COV(X,Y)+COV(Z,Z)-COV(Z,Y)=\\ &=COV(Z,Z)=VAR(Z)=\sigma^2\end{array}$

Calcoliamo le due varianze presenti al denominatore:

$VAR(X+Z)=VAR(X)+VAR(Z)+2COV(X,Z)=VAR(X)+VAR(Z)=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2$

$\begin{array}{l} VAR(Z-Y)&=VAR(Z)+VAR(-Y)+2COV(Z,-Y)=\\ &=VAR(Z)+VAR(Y)-2COV(Z,Y)=\\ &=VAR(Z)+VAR(Y)=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2\end{array}$

Sostituendo i valori trovati nella formula del coefficiente di correlazione lineare si ottiene:

$$\rho_{X+Z,Z-Y}=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\sigma^2\cdot 2\sigma^2}}=\frac{\sigma^2}{\sqrt{4\sigma^4}}=\frac{\sigma^2}{2\sigma^2}=\frac{1}{2}$$

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