Una variabile casuale di Poisson è una variabile casuale discreta che può assumere qualsiasi valore intero non negativo.
Formalmente si può dire che è un modello probabilistico adoperato per rappresentare situazioni di conteggio del numero di occorrenze di certi eventi in una unità di tempo o più precisamente del numero di "successi" in un certo intervallo continuo (vedi pure Processi di Poisson).
Tale variabile può essere derivata in 2 differenti contesti:
- Da prove bernulliane: quando si considerano moltissime prove ciascuna con probabilità di successo molto piccola.
- Da eventi temporali: ripetizione di un evento in un intervallo di tempo formato da subintervalli più piccoli.
Ipotesi di base della distribuzione di Poisson
Si assuma che un intervallo sia diviso in un numero molto grande di sottointervalli, in modo che la probabilità del verificarsi di un evento in ogni sottointervallo sia molto piccola. Le ipotesi di base di una variabile di Poisson sono:
- la probabilità del verificarsi di un evento è costante per tutti i sottointervalli;
- l'evento non si può verificare più di una volta in ciascuno dei sottointervalli;
- eventi che si verificano in intervalli disgiunti sono indipendenti.
Funzione di densità e funzione di ripartizione della distribuzione di Poisson
Se indichiamo con $X$ la variabile di Poisson e con $\lambda$ il parametro di tale distribuzione diremo che $X$ ha distribuzione di Poisson con parametro $\lambda\ge 0$ e in simboli lo indicheremo nel modo seguente:
$$X\sim P(\lambda),\quad\lambda\ge 0$$
Più precisamente, il parametro $\lambda$ indica il numero medio di eventi che si verificano nell'unità o in un certo intervallo di tempo. Mentre, con $X$ indichiamo il numero di eventi che si verificano nell'unità.
La funzione di densità per la variabile $X$ di Poisson rappresenta la probabilità di avere un certo numero $k$ di successi in un determinato intervallo di tempo:
$$f(k)=P(X=k)=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^k}{k!}\quad k=0,1,2,\dots ,\infty$$
La funzione di ripartizione per la variabile $X$ di Poisson indica la probabilità di ottenere al più $k$ successi in un determinato intervallo di tempo:
$$F(k)=P(X\le k)=\sum\limits_{n=0}^k\cfrac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^n}{n!}$$
Proprietà della distribuzione di Poisson
Si può verificare che se $X$ si distribuisce secondo una Poisson di parametro $\lambda$, si possono calcolare facilmente i seguenti parametri:
| Nome parametro | Calcolo parametro |
|---|---|
| Media o valore atteso | $$E(X)=\mu=\lambda$$ |
| Varianza | $$VAR(X)=\sigma^2=\lambda$$ |
| Deviazione standard | $$DEV(X)=\sigma=\sqrt{\lambda}$$ |
| Coefficiente di asimmetria | $$\alpha=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$$ |
| Coefficiente di Curtosi | $$k=\frac{1}{\lambda}$$ |
Somma di variabili di Poisson indipendenti
Se X e Y sono due variabili indipendenti tali che $X\sim P(\lambda_1)$ e $Y\sim P(\lambda_2)$, allora $X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)$
Applicazione sulla distribuzione di Poisson
Un libro di 550 pagine contiene errori si stampa. Qual è la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina aperta a caso?
Il numero medio di errori su una pagina è $\lambda=\frac{50}{500}=0.1$; con la distribuzione di Poisson si ha: $$\begin{eqnarray} P(X\ge 3)&=&1-P(X\le 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]=\\ &=&1-\left(e^{-0.1}+0.1\cdot e^{-0.1}+\frac{0.1^2}{2}e^{-0.1}\right)=\\ &=&1-0.99985=0.00015\end{eqnarray}$$
Processi di Poisson
Un processo di Poisson è un processo stocastico adoperato per simulare il verificarsi di eventi che accadono continuamente nel tempo. Tale processo è definito da una serie di variabili aleatorie $N_\alpha(t)$ definite per t>0, dove $\alpha$ rappresenta il numero medio di eventi occorsi nell'intervallo di tempo considerato.
Inoltre, indichiamo con $t$ l'ampiezza dell'intervallo e con $\alpha t$ il numero medio di eventi in tale intervallo.
In questo caso, risulta comodo ridefinire la funzione di densità per una variabile aleatoria $N_\alpha (t)$ con distribuzione di Poisson $P(\alpha t)$ nel seguente modo:
$$f(t)=P(N_\alpha(t)=k)=\cfrac{e^{-\alpha t}\cdot (\alpha t)^k}{k!}$$
Applicazione sui processi di Poisson
I fili di cotone di diametro trascurabile, prodotti da una determinata ditta tessile possono essere affetti da 2 tipi di difetti, la sfilacciatura (difetto A) e i nodi (difetto B). Il numero di difetti di tipo A e B sono variabili casuali indipendenti che seguono una distribuzione di Poisson. È stato stimato che ogni 1.000 m di filo vi sono mediamente 0,5 difetti di tipo A e ogni 10.000 m vi è mediamente un difetto del tip B.
- a) Calcolare la probabilità che in un rotolo di filo lungo 100.000 m non vi sia alcun difetto nel tratto tra i 60.000 m e i 67.000 m.
- b) Qual è la probabilità che in un rotolo di nastro lungo 100.000 m vi siano 3 difetti di tipo B, dato che in esso sono stati riscontrati complessivamente 9 difetti dei 2 tipi?
Calcoliamo il numero medio di difetti di tipo A nell'unità e il numero medio di difetti di tipo B nell'unità:
$\begin{array}{l} \alpha_A=\cfrac{0,5}{1000}=0,0005\\ \alpha_B=\cfrac{1}{10.000}=0,0001\end{array}$
Restano individuati i processi di Poisson $N_A(t)\sim P(\alpha_At)$ e $N_B(t)\sim P(\alpha_Bt)$.
Per il punto a), calcoliamo l'ampiezza dell'intervallo:
$t=67.000-60.000=7.000$
La probabilità che non vi sia alcun difetto nel tratto tra i 60.000 e i 67.000 metri è data da:
$\begin{array}{l} P(N_A(7.000)=0\cap N_B(7.000)=0)=P(N_A(7.000)=0)\cdot P(N_B(7.000)=0)=\\ =\cfrac{e^{-\alpha_A 7.000}\cdot (\alpha_A 7.000)^0}{0!}\cdot \cfrac{e^{-\alpha_B 7.000}\cdot (\alpha_B 7.000)^0}{0!}=\\ =e^{-0,0005\cdot 7.000}\cdot e^{-0,0001\cdot 7.000}=e^{-3,5}\cdot e^{-0,7}=e^{-4,2}\end{array}$
Precisiamo che la probabilita dell'intersezione dei due eventi $N_A(7.000)=0$ e $N_B(7.000)=0$ è pari al prodotto delle singole probabilità grazie all'indipendenza degli eventi stessi.
Legame tra processo di Poisson e distribuzione esponenziale
Si può dimostrare che, se il numero di successi in un intervallo t è descritto da una variabile di Poisson con parametro $\lambda=\alpha t$, allora il tempo T tra due successi consecutivi si distribuisce mediante una esponenziale di parametro $\alpha$ (vedi esercizio svolto).
