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Esercizi sui numeri complessi

Calcolo di radici di numeri complessi

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Determina le radici cubiche del seguente numero complesso esprimendole in forma esponenziale:

$$-4-4\sqrt{3}i$$

Esercizio 1
 

Come abbiamo visto nella teoria, per determinare le radici di un numero complesso bisogna dapprima scriverlo in forma trigonometrica. Calcoliamo, dunque, modulo e argomento principale:

$$r=\sqrt{16+16*3}=\sqrt{64}=8$$ $$\theta=\arctan\frac{-4\sqrt{3}}{-4}=\arctan\sqrt{3}=60°,240°$$

Essendo il numero complesso nel terzo quadrante, l'argomento principale è $\theta=240°=\frac{4}{3}\pi$.

Il numero complesso in forma trigonometrica è:

$$-4-4\sqrt{3}i=8\left(\cos\frac{4}{3}\pi+i\sin\frac{4}{3}\pi\right)$$

Le radici cubiche del numero complesso sono quindi:

$$\begin{array}{l} \omega_k&=\sqrt[3]{-4-4\sqrt{3}i}=\sqrt[3]{8}\left[\cos\left(\frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{3}\right)\right]=\\ &=2\left[\cos\left(\frac{4}{9}\pi+\frac{2}{3}k\pi\right)+i\sin\left(\frac{4}{9}\pi+\frac{2}{3}k\pi\right)\right]\end{array}$$

per $k=0,1,2$. Ricordiamo che inoltre che la forma esponenziale di un numero complesso è $re^{\theta i}$. In particolare avremo:

$$\omega_0 =2\left[\cos\left(\frac{4}{9}\pi\right)+i\sin\left(\frac{4}{9}\pi\right)\right]=2e^{\frac{4}{9}\pi i}$$ $$\begin{array}{l} \omega_1 &=2\left[\cos\left(\frac{4}{9}\pi+\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{4}{9}\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right]=\\ &=2\left[\cos\left(\frac{10}{9}\pi\right)+i\sin\left(\frac{10}{9}\pi\right)\right]=2e^{\frac{10}{9}\pi i}\end{array}$$ $$\begin{array}{l} \omega_2 &=2\left[\cos\left(\frac{4}{9}\pi+\frac{4}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{4}{9}\pi+\frac{4}{3}\pi\right)\right]=\\ &=2\left[\cos\left(\frac{16}{9}\pi\right)+i\sin\left(\frac{16}{9}\pi\right)\right]=2e^{\frac{16}{9}\pi i}\end{array}$$

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