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Esercizi sullo sviluppo in serie di Taylor e/o Mac Laurin

Intervallo di convergenza e somma di una serie

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Si calcoli l'intervallo di convergenza, precisando il comportamento agli estremi, e la somma della seguente serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n$$

Esercizio 1

La serie di potenze data non è altro che lo sviluppo del $\ \log (1+t) \ $ con $\ t=(3x-2)\ $ che sappiamo essere possibile solo quando $|t|<1$. Allora abbiamo:

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n = \log (1+(3x-2)) $$

con

$$ |3x-2|<1$$

Studiamo adesso il comportamento della serie agli estremi:

  1. se $x=\frac{1}{3} \ \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (-1)^n = - \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \ $ che diverge.
  2. se $x=1 \ \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \ $ che è una serie a segno alterno e converge per Leibniz (infatti il termine generale $\{ \frac{1}{n} \}$ è infinitesimo e decrescente).
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