Intervallo di convergenza e somma di una serie

$$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n = \log (1+(3x-2)) $$

con

$$ |3x-2|<1$$

Studiamo adesso il comportamento della serie agli estremi:

1. se $x=\frac{1}{3} \ \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (-1)^n = - \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \ $ che diverge.
2. se $x=1 \ \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x-2)^n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \ $ che è una serie a segno alterno e converge per Leibniz (infatti il termine generale $\{ \frac{1}{n} \}$ è infinitesimo e decrescente).