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Esercizi sui polinomi

Esercizi sulla scomposizione di trinomi di secondo grado

Scomponi in fattori i seguenti trinomi, riconoscendo il tipo $x^2+sx+p$

  1. $x^2+x-6$ (scomposizione)
  2. $y^4-5y^2-6$ (scomposizione)
  3. $a^2-2ab-3b^2$ (scomposizione)
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 $x^2+x-6$ 

Esercizio 1

Per scomporre in fattori, cerchiamo due numeri $x_1$ e $x_2$ tali che: $$\begin{array}{l} x_1+x_2=+1\\ x_1\cdot x_2=-6\end{array}$$

Le coppie di numeri che hanno per somma +1 (o qualsiasi altro numero) sono infinite, mentre quelle che hanno come prodotto -6 (o qualsiasi altro numero diverso da 0) sono finite. Ci conviene perciò partire dal prodotto facendo vari tentativi fino a trovare la coppia che soddisfa anche la proprietà della somma: $$\begin{array}{l} \mbox{moltiplicazioni con prodotto } p=-6 &\quad \mbox{somma } s\mbox{ dei fattori}\\ (+1)(-6) &\quad -5\\ (-1)(+6) &\quad +5\\ (+2)(-3) &\quad -1\\ (-2)(+3) &\quad +1\end{array}$$

L'ultima coppia trovata è quella che soddisfa le due proprietà, dunque, $x_1=-2$ e $x_2=+3$. Per la regola di scomposizione di un trinomio di secondo grado si ha: $$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$

$y^4-5y^2-6$

Esercizio 2

Questo trinomio è di quarto grado. Cerchiamo di trasformarlo in un trinomio di secondo grado: $$y^4-5y^2-6=(y^2)^2-5y^2-6$$

Ponendo $y^2=t$, otteniamo: $$t^2-5t+6$$

Possiamo proseguire come nel caso 1. Cerchiamo $x_1$ e $x_2$ tali che $$\begin{array}{l} x_1+x_2=-5\\ x_1\cdot x_2=-6\end{array}$$

Osservando la prima riga della tabella del caso 1, vediamo che $x_1=+1$ e $x_2=-6$. Dunque: $$t^2-5t+6=(t+1)(t-6)$$

Sostituendo nuovamente $t=y^2$, si ha: $$y^4-5y^2-6=(y^2+1)(y^2-6)$$

 $$a^2-2ab-3b^2$$

Esercizio 3

Fissiamo $a$ come incognita e trattiamo $b$ come termine noto. Cerchiamo, dunque $x_1$ e $x_2$ tali che $$\begin{array}{l} x_1+x_2=-2b\\ x_1\cdot x_2=-3b^2\end{array}$$

Risulta che $x_1=+b$ e $x_2-3b$. Dunque: $$a^2-2ab-3b^2=(a+b)(a-3b)$$

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