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Esercizi sulle disequazioni

Disequazioni con il valore assoluto risolte

Sai risolvere una disequazione con il valore assoluto? Se la risposta è no, prima di proseguire con la lettura di questo articolo, ti consiglio di dare un'occhiata all'articolo in cui spiego come svolgere le disequazioni con il valore assoluto.

Se invece ti sai già districare con questo argomento, puoi provare a risolvere tu stesso le disequazioni con il valore assoluto che vedi qui sotto. Per verificare che siano corrette basta che fai click sulla disequazione per visualizzare lo svolgimento.

  1. $|x-1|\le 3$
  2. $|x^2+x|\leq |x|$
  3. $\left |\frac{3-2x}{x+1}\right | < 1$
  4. $\frac{-|x|}{|x-1|}\geq 0$
  5. $|x^2-4| > 4x-8$

Inoltre, se vuoi esercitarti tu stesso, ti propongo alcune disequazioni con valore assoluto da risolvere (vai in fondo alla pagina).

L'esercizio non è chiaro?

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$$|x-1|\le 3$$

Esercizio 1

Poichè il secondo membro è costante e il verso della disequazione è $\le$, la disequazione precendente è equivalente a:

$$-3\le x-1\le 3$$

ovvero al seguente sistema:

$$\begin{cases} x-1\le 3\\ x-1\ge -3\end{cases}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\begin{cases} x\le 4\\ x\ge -2\end{cases}$$

il quale ha soluzione:

$$-2\le x\le 4$$

$$|x^2+x|\leq |x|$$

Esercizio 2

Essendo questa una disequazione con due valori assoluti e con l'incognita anche a secondo membro, per eliminare il valore assoluto, è necessario studiare i seguenti quattro casi possibili:

  1. Caso $x^2+x\geq 0$ e $x\geq 0$ $$\begin{cases} x^2+x\geq 0\\ x\geq 0\\ x^2+x\leq x\end{cases}$$ Questo sistema di disequazioni è equivalente al seguente: $$\begin{cases} x\leq -1\ \vee\ x\geq 0\\ x\geq 0\\ x=0\end{cases}$$ che banalmente ha soluzione $x=0$.
  2. Caso $x^2+x < 0$ e $x < 0$ $$\begin{cases} x^2+x < 0\\ x < 0\\ -(x^2+x)\leq -x\end{cases}$$ Risolvendo le disequazioni il sistema si semplifica così: $$\begin{cases} -1 < x < 0\\ x < 0\\ x^2\geq 0\end{cases}$$ che ha soluzione $-1 < x < 0$.
  3. Caso $x^2+x\geq 0$ e $x < 0$ $$\begin{cases} x^2+x\geq 0\\ x < 0\\ x^2+x\leq -x\end{cases}$$ Questo sistema è equivalente a $$\begin{cases} x\leq -1\ \vee\ x\geq 0\\ x < 0\\ x^2+2x\leq 0\end{cases}$$ e ha soluzioni $-2\leq x\leq -1$.
  4. Caso $x^2+x < 0$ e $x\geq 0$ $$\begin{cases} x^2+x < 0\\ x\geq 0\\ -(x^2+x)\leq x\end{cases}$$ Se si svolge quest'ultimo si vede che è impossibile

In definitiva, unendo le soluzioni dei primi tre casi, ossia $x=0$, $-1 < x < 0$ e $-2\leq x\leq -1$ otteniamo la soluzione la soluzione della disequazione: $$-2\leq x\leq 0$$

$$\left |\frac{3-2x}{x+1}\right | < 1$$

Esercizio 3

Osservando che al secondo membro appare una costante (numero), per quello detto qui, la disequazione è equivalente alla seguente doppia disuguaglianza: $$-1 < \frac{3-2x}{x+1} < 1$$ ossia al seguente sistema: $$\begin{cases} \frac{3-2x}{x+1} < 1\\ \frac{3-2x}{x+1} > -1\end{cases}$$

Risolvendo le due disequazioni fratte, otteniamo: $$\begin{cases} x < -1\ \vee\ x >\frac{2}{3}\\ -1 < x < 4\end{cases}$$

Risolvendo quest'ultimo sistema arriviamo alla soluzione finale: $$\frac{2}{3} < x < 4$$

$$\frac{-|x|}{|x-1|}\geq 0$$

Esercizio 4

Siamo di fronte a una disequazione fratta con valori assoluti. Risolviamola ponendo il numeratore maggiore o uguale a 0 e il denominatore maggiore di 0: $$\begin{array} -|x|\geq 0 |x-1| > 0\end{array}$$

La prima disequazione è verificata solo per $x=0$, mentre la seconda per $x\neq 1$, dunque la soluzione è $x=0$.

$$|x^2-4| > 4x-8$$

Esercizio 5

Questa invece, è una disequazione con valore assoluto in cui l'incognita compare a secondo membro (clicca qui per approfondimento). Per tale motivo bisogna studiare separatamente i seguenti due casi:

  1. Caso $x^2-4\geq 0$ $$\begin{cases} x^2-4\geq 0\\ x^2-4 > 4x-8\end{cases}$$ Questo sistema di disequazioni è equivalente al seguente: $$\begin{cases} x\leq -2\ \vee\ x\geq 2\\ x\neq 2\end{cases}$$ ed ha soluzione $x\leq -2\ \vee\ x > 2$.
  2. Caso $x^2-4 < 0$ $$\begin{cases} x^2-4 < 0\\ -x^2+4 > 4x-8\end{cases}$$ Questo invece è equivalente a $$\begin{cases} -2 < x < 2\\ -6 < x < 2\end{cases}$$ e ha soluzione $-2 < x < 2$.

Unendo le soluzioni dei due sistemi, ossia $x\leq -2\ \vee\ x > 2$ e $-2 < x < 2$, risulta che l'insieme delle soluzioni della disequazione di partenza è $x\neq 2$.

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