Disequazioni con il valore assoluto risolte

Poichè il secondo membro è costante e il verso della disequazione è $\le$, la disequazione precendente è equivalente a:

$$-3\le x-1\le 3$$

ovvero al seguente sistema:

$$\begin{cases} x-1\le 3\\ x-1\ge -3\end{cases}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\begin{cases} x\le 4\\ x\ge -2\end{cases}$$

il quale ha soluzione:

$$-2\le x\le 4$$

Essendo questa una disequazione con due valori assoluti e con l'incognita anche a secondo membro, per eliminare il valore assoluto, è necessario studiare i seguenti quattro casi possibili:

1. Caso $x^2+x\geq 0$ e $x\geq 0$ $$\begin{cases} x^2+x\geq 0\\ x\geq 0\\ x^2+x\leq x\end{cases}$$ Questo sistema di disequazioni è equivalente al seguente: $$\begin{cases} x\leq -1\ \vee\ x\geq 0\\ x\geq 0\\ x=0\end{cases}$$ che banalmente ha soluzione $x=0$.
2. Caso $x^2+x < 0$ e $x < 0$ $$\begin{cases} x^2+x < 0\\ x < 0\\ -(x^2+x)\leq -x\end{cases}$$ Risolvendo le disequazioni il sistema si semplifica così: $$\begin{cases} -1 < x < 0\\ x < 0\\ x^2\geq 0\end{cases}$$ che ha soluzione $-1 < x < 0$.
3. Caso $x^2+x\geq 0$ e $x < 0$ $$\begin{cases} x^2+x\geq 0\\ x < 0\\ x^2+x\leq -x\end{cases}$$ Questo sistema è equivalente a $$\begin{cases} x\leq -1\ \vee\ x\geq 0\\ x < 0\\ x^2+2x\leq 0\end{cases}$$ e ha soluzioni $-2\leq x\leq -1$.
4. Caso $x^2+x < 0$ e $x\geq 0$ $$\begin{cases} x^2+x < 0\\ x\geq 0\\ -(x^2+x)\leq x\end{cases}$$ Se si svolge quest'ultimo si vede che è impossibile

In definitiva, unendo le soluzioni dei primi tre casi, ossia $x=0$, $-1 < x < 0$ e $-2\leq x\leq -1$ otteniamo la soluzione la soluzione della disequazione: $$-2\leq x\leq 0$$

Osservando che al secondo membro appare una costante (numero), per quello detto qui, la disequazione è equivalente alla seguente doppia disuguaglianza: $$-1 < \frac{3-2x}{x+1} < 1$$ ossia al seguente sistema: $$\begin{cases} \frac{3-2x}{x+1} < 1\\ \frac{3-2x}{x+1} > -1\end{cases}$$

Risolvendo le due disequazioni fratte, otteniamo: $$\begin{cases} x < -1\ \vee\ x >\frac{2}{3}\\ -1 < x < 4\end{cases}$$

Risolvendo quest'ultimo sistema arriviamo alla soluzione finale: $$\frac{2}{3} < x < 4$$

Siamo di fronte a una disequazione fratta con valori assoluti. Risolviamola ponendo il numeratore maggiore o uguale a 0 e il denominatore maggiore di 0: $$\begin{array} -|x|\geq 0 |x-1| > 0\end{array}$$

La prima disequazione è verificata solo per $x=0$, mentre la seconda per $x\neq 1$, dunque la soluzione è $x=0$.

Questa invece, è una disequazione con valore assoluto in cui l'incognita compare a secondo membro (clicca qui per approfondimento). Per tale motivo bisogna studiare separatamente i seguenti due casi:

1. Caso $x^2-4\geq 0$ $$\begin{cases} x^2-4\geq 0\\ x^2-4 > 4x-8\end{cases}$$ Questo sistema di disequazioni è equivalente al seguente: $$\begin{cases} x\leq -2\ \vee\ x\geq 2\\ x\neq 2\end{cases}$$ ed ha soluzione $x\leq -2\ \vee\ x > 2$.
2. Caso $x^2-4 < 0$ $$\begin{cases} x^2-4 < 0\\ -x^2+4 > 4x-8\end{cases}$$ Questo invece è equivalente a $$\begin{cases} -2 < x < 2\\ -6 < x < 2\end{cases}$$ e ha soluzione $-2 < x < 2$.

Unendo le soluzioni dei due sistemi, ossia $x\leq -2\ \vee\ x > 2$ e $-2 < x < 2$, risulta che l'insieme delle soluzioni della disequazione di partenza è $x\neq 2$.