Sia dato l'insieme numerico: $$X=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [0,1]\ \cup\ ]3,4[$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?
Elenchiamo alcuni punti della successione presente tra parentesi nell'insieme $X$:
$$X=\bigg\{-5,-\frac{7}{2},-\frac{13}{5},\dots\bigg\}$$
L'interno di $X$ è banalmente:
$$]0,1[\ \cup\ ]3,4[$$
che è diverso dall'insieme vuoto, per cui la 1) è falsa.
Il derivato di $X$ è formato da tutti i punti degli intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$ e dal punto limite della successione tra parentesi che si trova calcolando:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}-2-\frac{3}{n^2+1}=-2$$
Dunque
$$DX=[0,1]\ \cup\ [3,4]\ \cup\ \{-2\}$$
Allora, il derivato del derivato di $X$ sarebbe l'unione dei due intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$:
$$D(DX)=[0,1]\ \cup\ [3,4]$$
il quale è un insieme chiuso dato che la sua chiusura coincide con l'insieme stesso:
$$\overline{[0,1]\ \cup\ [3,4]}=[0,1]\ \cup\ [3,4]$$
ma non è un intervallo dato che è unione di due intervalli disgiunti.
La 2) è quindi falsa.
La frontiera di $X$ è formata da tutti i punti isolati contenuti nella successione tra parentesi e dal suo punto limite $-2$ e dagli estremi degli intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$:
$$FX=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ \{-2,0,1,3,4\}$$
Quest'ultimo insieme ha un solo punto di accumulazione che è $-2$, dunque la cardinalità dell'insieme $D(FX)$ è pari a 1: la 3) è la risposta VERA.
La chiusura di $X$ è:
$$\overline{X}=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ \{-2\}\ \cup\ [0,1]\ \cup\ [3,4]$$
Pertanto, l'insieme
$$\overline{X}\setminus X =\{-2,3,4\}$$
Poichè tale insieme ha cardinalità $3$, la 4) è falsa.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
