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Esercizi svolti sugli insiemi numerici

Interno, chiusura e derivato di un insieme

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Sia dato l'insieme numerico: $$X=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [0,1]\ \cup\ ]3,4[$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?

  1. $\mathop X\limits ^\circ = \emptyset$.
  2. $D(DX)$ è un intervallo chiuso.
  3. $|D(FX)|=1$.
  4. $|\overline{X}\setminus X|=2$.
  5. Nessuna delle altre risposte.
Esercizio 1

Elenchiamo alcuni punti della successione presente tra parentesi nell'insieme $X$:

$$X=\bigg\{-5,-\frac{7}{2},-\frac{13}{5},\dots\bigg\}$$

L'interno di $X$ è banalmente:

$$]0,1[\ \cup\ ]3,4[$$

che è diverso dall'insieme vuoto, per cui la 1) è falsa.

Il derivato di $X$ è formato da tutti i punti degli intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$ e dal punto limite della successione tra parentesi che si trova calcolando:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}-2-\frac{3}{n^2+1}=-2$$

Dunque

$$DX=[0,1]\ \cup\ [3,4]\ \cup\ \{-2\}$$

Allora, il derivato del derivato di $X$ sarebbe l'unione dei due intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$:

$$D(DX)=[0,1]\ \cup\ [3,4]$$

il quale è un insieme chiuso dato che la sua chiusura coincide con l'insieme stesso:

$$\overline{[0,1]\ \cup\ [3,4]}=[0,1]\ \cup\ [3,4]$$

ma non è un intervallo dato che è unione di due intervalli disgiunti.

La 2) è quindi falsa.

La frontiera di $X$ è formata da tutti i punti isolati contenuti nella successione tra parentesi e dal suo punto limite $-2$ e dagli estremi degli intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$:

$$FX=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ \{-2,0,1,3,4\}$$

Quest'ultimo insieme ha un solo punto di accumulazione che è $-2$, dunque la cardinalità dell'insieme $D(FX)$ è pari a 1: la 3) è la risposta VERA.

La chiusura di $X$ è:

$$\overline{X}=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ \{-2\}\ \cup\ [0,1]\ \cup\ [3,4]$$

Pertanto, l'insieme

$$\overline{X}\setminus X =\{-2,3,4\}$$

Poichè tale insieme ha cardinalità $3$, la 4) è falsa.

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