Se hai già visto come risolvere le equazioni esponenziali, sarai in grado di risolvere pure le disequazioni esponenziale avendo solo alcuni accorgimenti nel caso in cui la base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1.
Se invece vuoi provare tu stesso a risolvere le disequazioni esponenziali ne trovi tante in fondo alla pagina.
$$\frac{8^{1+x}+8^x}{9}\ge 4^{1+2x}+\frac{16}{4^{1-2x}}$$
Applicando le proprietà delle potenze quando necessario, seguiamo i seguenti passaggi:
$\begin{array}{l}
\cfrac{8\cdot 8^{x}+8^x}{9}\ge 4\cdot 4^{2x}+\cfrac{16\cdot 4^{2x}}{4}\quad\Rightarrow\quad\cfrac{8^x(8+1)}{9}\ge 4\cdot 4^{2x}+4\cdot 4^{2x}\quad\Rightarrow\quad 8^x\ge8\cdot 4^{2x}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad 2^{3x}\ge8\cdot 2^{4x}\quad\Rightarrow\quad \cfrac{2^{3x}}{2^{3x}}\ge\cfrac{8\cdot 2^{4x}}{2^{3x}}\quad\Rightarrow\quad 1\ge 8\cdot 2^{x}\quad\Rightarrow\\
\quad\Rightarrow\ 2^x\le \cfrac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad 2^x\le\cfrac{1}{2^3}\quad\Rightarrow\quad 2^x\le 2^{-3}\quad\Rightarrow\quad x\le -3 \end{array}$
$$\frac{4^{x-2}-5}{9^x-3} < 0$$
Come fatto sempre, per risolvere una disequazione fratte, poniamo numeratore e denominatore maggiori di 0:
Risolviamo la 1) prendendo i logaritmi in base 4 in entrambi i membri:
$$\begin{array}{l} 4^{x-2}>5\quad\Rightarrow\quad\log_4 4^{x-2}>\log_4 5\\ x-2>\log_4 5\quad\Rightarrow\quad x>\log_4 5+2\end{array}$$
Risolviamo la 2) notando che $9=3^2$:
$$\begin{array}{l} 9^x>3\quad\Rightarrow\quad 3^{2x}>3\\ 2x>1\quad\Rightarrow\quad x>\frac{1}{2}\end{array}$$
Dal prodotto dei segni delle due disequazioni otteniamo la soluzione $\frac{1}{2} < x < \log_4 5+2$ come conferma il grafico seguente:
$$\left(\frac{9}{5}\right)^x < 0$$
L'esponenziale presente al primo membro, essendo per definizione una quantità positiva, non può mai essere minore di zero, per cui la disequazione esponenziale è impossibile.
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} > 27$$
Per le proprietà delle potenze, possiamo ribaltare la base dell'esponenziale al primo membro (da $1/3$ a $3$) e cambiare segno all'esponente; mentre il secondo membro lo possiamo riscrivere come potenza di 3 ($27=3^3$): $$3^{-3x}>3^3$$
Avendo due potenze con la stessa base in entrambi i membri, la precedente disequazione risulta equivalente alla disuguaglianza tra gli esponenti: $$-3x > 3$$ che è banalmente soddisfatta per $x < -1$.
$$2^{2x+1}+4^{x-1}+4^x < 13$$
Applichiamo anche in questo caso le proprietà delle potenze per riscrivere tutti gli esponenziali con una base comune ($2$): $$\begin{array}{l} 2^{2x}\cdot 2+2^{2x-2}+2^{2x}-13 < 0\\ 2\cdot 2^{2x}+2^{-2}\cdot 2^{2x}+2^{2x}-13 < 0\\ 2\cdot 2^{2x}+\frac{1}{4}\cdot 2^{2x}+2^{2x}-13 < 0\end{array}$$
Facciamo la seguente sostituzione: poniamo $t=2^{2x}$ e la disequazione esponenziale diventa una disequazione di primo grado $$\begin{array}{l} 2t+\frac{1}{4}t+t-13 < 0\\ \frac{8t+t+4t-52}{4} < 0\\ 13t-52 < 0\\ t < 4\end{array}$$
Infine, ripristinando il valore di $t=2^{2x}$ l'ultima disequazione diventa $$2^{2x} < 4$$ ossia $2^{2x} < 2^2$ che è soddisfatta per $2x < 2$ e quindi $x<1$.
