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Esercizi sulle disequazioni

Disequazioni esponenziali risolte

Se hai già visto come risolvere le equazioni esponenziali, sarai in grado di risolvere pure le disequazioni esponenziale avendo solo alcuni accorgimenti nel caso in cui la base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1.

  1. $\frac{8^{1+x}+8^x}{9}\ge 4^{1+2x}+\frac{16}{4^{1-2x}}$
  2. $\frac{4^{x-2}-5}{9^x-3} < 0$
  3. $\left(\frac{9}{5}\right)^x < 0$
  4. $\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} > 27$
  5. $2^{2x+1}+4^{x-1}+4^x < 13$

Se invece vuoi provare tu stesso a risolvere le disequazioni esponenziali ne trovi tante in fondo alla pagina.

 

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$$\frac{8^{1+x}+8^x}{9}\ge 4^{1+2x}+\frac{16}{4^{1-2x}}$$

Esercizio 1

Applicando le proprietà delle potenze quando necessario, seguiamo i seguenti passaggi:

$\begin{array}{l}
\cfrac{8\cdot 8^{x}+8^x}{9}\ge 4\cdot 4^{2x}+\cfrac{16\cdot 4^{2x}}{4}\quad\Rightarrow\quad\cfrac{8^x(8+1)}{9}\ge 4\cdot 4^{2x}+4\cdot 4^{2x}\quad\Rightarrow\quad 8^x\ge8\cdot 4^{2x}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad 2^{3x}\ge8\cdot 2^{4x}\quad\Rightarrow\quad \cfrac{2^{3x}}{2^{3x}}\ge\cfrac{8\cdot 2^{4x}}{2^{3x}}\quad\Rightarrow\quad 1\ge 8\cdot 2^{x}\quad\Rightarrow\\
\quad\Rightarrow\ 2^x\le \cfrac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad 2^x\le\cfrac{1}{2^3}\quad\Rightarrow\quad 2^x\le 2^{-3}\quad\Rightarrow\quad x\le -3 \end{array}$

$$\frac{4^{x-2}-5}{9^x-3} < 0$$

Esercizio 2

Come fatto sempre, per risolvere una disequazione fratte, poniamo numeratore e denominatore maggiori di 0:

  1. $4^{x-2}-5>0$
  2. $9^x-3$

Risolviamo la 1) prendendo i logaritmi in base 4 in entrambi i membri:

$$\begin{array}{l} 4^{x-2}>5\quad\Rightarrow\quad\log_4 4^{x-2}>\log_4 5\\ x-2>\log_4 5\quad\Rightarrow\quad x>\log_4 5+2\end{array}$$

Risolviamo la 2) notando che $9=3^2$:

$$\begin{array}{l} 9^x>3\quad\Rightarrow\quad 3^{2x}>3\\ 2x>1\quad\Rightarrow\quad x>\frac{1}{2}\end{array}$$

Dal prodotto dei segni delle due disequazioni otteniamo la soluzione $\frac{1}{2} < x < \log_4 5+2$ come conferma il grafico seguente:

prodotto dei segni di una disequazione esponenziale fratta

 

$$\left(\frac{9}{5}\right)^x < 0$$

Esercizio 3

L'esponenziale presente al primo membro, essendo per definizione una quantità positiva, non può mai essere minore di zero, per cui la disequazione esponenziale è impossibile.

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} > 27$$

Esercizio 4

Per le proprietà delle potenze, possiamo ribaltare la base dell'esponenziale al primo membro (da $1/3$ a $3$) e cambiare segno all'esponente; mentre il secondo membro lo possiamo riscrivere come potenza di 3 ($27=3^3$): $$3^{-3x}>3^3$$

Avendo due potenze con la stessa base in entrambi i membri, la precedente disequazione risulta equivalente alla disuguaglianza tra gli esponenti: $$-3x > 3$$ che è banalmente soddisfatta per $x < -1$.

$$2^{2x+1}+4^{x-1}+4^x < 13$$

Esercizio 5

Applichiamo anche in questo caso le proprietà delle potenze per riscrivere tutti gli esponenziali con una base comune ($2$): $$\begin{array}{l} 2^{2x}\cdot 2+2^{2x-2}+2^{2x}-13 < 0\\ 2\cdot 2^{2x}+2^{-2}\cdot 2^{2x}+2^{2x}-13 < 0\\ 2\cdot 2^{2x}+\frac{1}{4}\cdot 2^{2x}+2^{2x}-13 < 0\end{array}$$

Facciamo la seguente sostituzione: poniamo $t=2^{2x}$ e la disequazione esponenziale diventa una disequazione di primo grado $$\begin{array}{l} 2t+\frac{1}{4}t+t-13 < 0\\ \frac{8t+t+4t-13}{4} < 0\\ 13t-13 < 0\\ t < 1\end{array}$$

Infine, ripristinando il valore di $t=2^{2x}$ l'ultima disequazione diventa $$2^{2x} < 1$$ ossia $2^{2x} < 2^0$ che è soddisfatta per $x < 0$.

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