Webtudordimatematica
Esercizi sulle disequazioni

Disequazioni esponenziali risolte

Se hai già visto come risolvere le equazioni esponenziali, sarai in grado di risolvere pure le disequazioni esponenziale avendo solo alcuni accorgimenti nel caso in cui la base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1.

  1. $\frac{8^{1+x}+8^x}{9}\ge 4^{1+2x}+\frac{16}{4^{1-2x}}$
  2. $\frac{4^{x-2}-5}{9^x-3} < 0$
  3. $\left(\frac{9}{5}\right)^x < 0$
  4. $\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} > 27$
  5. $2^{2x+1}+4^{x-1}+4^x < 13$

Se invece vuoi provare tu stesso a risolvere le disequazioni esponenziali ne trovi tante in fondo alla pagina.

 

L'esercizio non è chiaro?

Richiedi informazioni

$$\frac{8^{1+x}+8^x}{9}\ge 4^{1+2x}+\frac{16}{4^{1-2x}}$$

Esercizio 1

Applicando le proprietà delle potenze quando necessario, seguiamo i seguenti passaggi:

$\begin{array}{l}
\cfrac{8\cdot 8^{x}+8^x}{9}\ge 4\cdot 4^{2x}+\cfrac{16\cdot 4^{2x}}{4}\quad\Rightarrow\quad\cfrac{8^x(8+1)}{9}\ge 4\cdot 4^{2x}+4\cdot 4^{2x}\quad\Rightarrow\quad 8^x\ge8\cdot 4^{2x}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad 2^{3x}\ge8\cdot 2^{4x}\quad\Rightarrow\quad \cfrac{2^{3x}}{2^{3x}}\ge\cfrac{8\cdot 2^{4x}}{2^{3x}}\quad\Rightarrow\quad 1\ge 8\cdot 2^{x}\quad\Rightarrow\\
\quad\Rightarrow\ 2^x\le \cfrac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad 2^x\le\cfrac{1}{2^3}\quad\Rightarrow\quad 2^x\le 2^{-3}\quad\Rightarrow\quad x\le -3 \end{array}$

$$\frac{4^{x-2}-5}{9^x-3} < 0$$

Esercizio 2

Come fatto sempre, per risolvere una disequazione fratte, poniamo numeratore e denominatore maggiori di 0:

  1. $4^{x-2}-5>0$
  2. $9^x-3$

Risolviamo la 1) prendendo i logaritmi in base 4 in entrambi i membri:

$$\begin{array}{l} 4^{x-2}>5\quad\Rightarrow\quad\log_4 4^{x-2}>\log_4 5\\ x-2>\log_4 5\quad\Rightarrow\quad x>\log_4 5+2\end{array}$$

Risolviamo la 2) notando che $9=3^2$:

$$\begin{array}{l} 9^x>3\quad\Rightarrow\quad 3^{2x}>3\\ 2x>1\quad\Rightarrow\quad x>\frac{1}{2}\end{array}$$

Dal prodotto dei segni delle due disequazioni otteniamo la soluzione $\frac{1}{2} < x < \log_4 5+2$ come conferma il grafico seguente:

prodotto dei segni di una disequazione esponenziale fratta

 

$$\left(\frac{9}{5}\right)^x < 0$$

Esercizio 3

L'esponenziale presente al primo membro, essendo per definizione una quantità positiva, non può mai essere minore di zero, per cui la disequazione esponenziale è impossibile.

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} > 27$$

Esercizio 4

Per le proprietà delle potenze, possiamo ribaltare la base dell'esponenziale al primo membro (da $1/3$ a $3$) e cambiare segno all'esponente; mentre il secondo membro lo possiamo riscrivere come potenza di 3 ($27=3^3$): $$3^{-3x}>3^3$$

Avendo due potenze con la stessa base in entrambi i membri, la precedente disequazione risulta equivalente alla disuguaglianza tra gli esponenti: $$-3x > 3$$ che è banalmente soddisfatta per $x < -1$.

$$2^{2x+1}+4^{x-1}+4^x < 13$$

Esercizio 5

Applichiamo anche in questo caso le proprietà delle potenze per riscrivere tutti gli esponenziali con una base comune ($2$): $$\begin{array}{l} 2^{2x}\cdot 2+2^{2x-2}+2^{2x}-13 < 0\\ 2\cdot 2^{2x}+2^{-2}\cdot 2^{2x}+2^{2x}-13 < 0\\ 2\cdot 2^{2x}+\frac{1}{4}\cdot 2^{2x}+2^{2x}-13 < 0\end{array}$$

Facciamo la seguente sostituzione: poniamo $t=2^{2x}$ e la disequazione esponenziale diventa una disequazione di primo grado $$\begin{array}{l} 2t+\frac{1}{4}t+t-13 < 0\\ \frac{8t+t+4t-52}{4} < 0\\ 13t-52 < 0\\ t < 4\end{array}$$

Infine, ripristinando il valore di $t=2^{2x}$ l'ultima disequazione diventa $$2^{2x} < 4$$ ossia $2^{2x} < 2^2$ che è soddisfatta per $2x < 2$ e quindi $x<1$.

Disequazioni esponenziali da risolvere

  1. $\left(\frac{6}{7}\right)^x > 0$
  2. $\left(\frac{1}{5}\right)^{2x} > 25$
  3. $1-7^{1+x}\geq 0$
  4. $\large{\frac{2^{3-x}-32}{\left(\frac{1}{2}\right)^{1+x}-\frac{1}{4}}\geq 0}$
  5. $3^x-3^{3-x}+6\geq 0$
L'esercizio non è chiaro?

Altri esercizi di matematica

Statistica
Video corsi

Video corso R per ricercatori e professionisti

Leggi tutto
Il quaderno degli appunti
Algebra di base

Gli esponenziali

L'esponenziale è una potenza che come base ha un numero $a$ positivo diverso da 1 e come esponente un'espressione che contiene l'incognita $x$ (la ch
Statistica e Probabilità

Tavola della distribuzione normale standard: come leggerla

La tavola della distribuzione normale standard ti permette di calcolare la probabilità a sinistra di un dato quantile o viceversa trovare il valore d
Analisi matematica

Calcolo delle derivate

La teoria dell'analisi matematica ci dice che, a norma di definizione, il calcolo della derivata di una funzione equivale al calcolo del limite del ra