In questa lezione vedrai come risolvere le diverse tipologie di disequazioni con il valore assoluto. In particolare, ti mostro come risolvere disequazioni in cui:
Disequazioni con un unico valore assoluto
Da ora in poi indicherò con $A(x)$ o $B(x)$ quantità che contengono l'incognita $x$, mentre con A oppure B indicherò numeri, termini costanti.
Quando è presente un solo valore assoluto si possono presentare queste due situazioni:
- la disequazione è del tipo $|A(x)|>B$ oppure $|A(x)| < B$ (ossia un valore assoluto maggiore o minore di un numero)
- la disequazione è del tipo $|A(x)|>B(x)$ oppure $|A(x)| < B(x)$ (ossia un valore assoluto maggiore o minore di una quantità che contiene la $x$)
Nel caso a) la risoluzione è immediata, infatti:
- $|A(x)|>B$ si risolve scrivendo $A(x) < -B\ \vee\ A(x)>B$
- $|A(x)|<B$ si risolve scrivendo $-B < A(x) < B$
Esempio
Risolvere le due disequazioni $$\begin{array}{ll} \mbox{1) } &|2x+1| > 7\\ \mbox{2) } &|x-3|\le 5\end{array}$$
La disequazione 1) è verificata sia per $2x+1 < -7$ sia per $2x+1 >7$. Le sue soluzioni sono pertanto tutti i valori di $x$ soddisfacenti l'una o l'altra delle due condizioni: $$x < -4\ \vee\ x>3$$
La disequazione 2) è invece verificata quando $-5\le x-3\le 5$. Questa duplice condizione è equivalente al sistema: $$\left\{\begin{array}{l} x-3 \ge -5\\ x-3\le 5\end{array}\right.$$
ossia
$$\left\{\begin{array}{l} x \ge -2\\ x\le 8\end{array}\right.$$
Le soluzioni sono pertanto tutti i valori di $x$ per i quali risulti soddisfatta la condizione $$-2\le x\le 8$$
Se fuori del valore assoluto e quindi a secondo membro non avessimo un numero bensì una quantità contenente la $x$, ossia $|A(x)|>B(x)$
Supponiamo di voler risolvere la seguente disequazione:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{|A(x)|>B(x)}$$
dove sia $A(x)$ che $B(x)$ variano al variare dell'incognita $x$.
Considerando la definizione di valore assoluto di un'espressione, per risolvere tale disequazione devo studiare dapprima il caso $A(x)\ge 0$, da cui la disequazione di partenza sarà equivalente a
$$A(x)>B(x)$$
e poi, il caso $A(x) < 0$, da cui seguirà la disequazione
$$-A(x) > B(x)$$
In breve, bisogna risolvere i seguenti sistemi e trovare l'unione delle rispettive soluzioni:
$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ A(x) > B(x) \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A(x) < 0 \\ -A(x) > B(x) \end{array}\right.$$
Se il verso della disequazione iniziale fosse stato $<$ avrei ragionato analogamente riscrivendo la disequazione senza valore assoluto con il verso $<$.
Esempio
Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto $$|x^2-1| < 2x+1$$
Scriviamo i due sistemi da risolvere:
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-1\ge 0 \\ x^2-1 < 2x+1 \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x^2-1 < 0 \\ -(x^2-1) < 2x+1 \end{array}\right.$$
Il primo sistema diventa:
$$\left\{ \begin{array}{l} x\le -1\ \vee\ x\ge 1 \\ x^2-2x-2 < 0 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} x\le -1\ \vee\ x\ge 1 \\ 1-\sqrt{3} < x < 1+\sqrt{3} \end{array}\right.$$
Riportiamo le soluzioni sulla retta reale e mettiamole a sistema:
Risolviamo il secondo sistema
$$\left\{ \begin{array}{l} -1 < x < 1 \\ x^2+2x > 0 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} -1 < x < 1 \\ x < -1\ \vee\ x > 0 \end{array}\right.$$
Unendo le soluzioni dei due sistemi trovati, ottengo la soluzione della disequazione data:
$$0 < x \le 1+\sqrt{3}$$
Disequazioni con due valori assoluti
Quando ci sono due valori assoluti $|A(x)|$ e $|B(x)|$, i casi da studiare raddoppiano e sono:
- $A(x)\geq 0$, $B(x)\geq 0$
- $A(x)\geq 0$, $B(x)<0$
- $A(x)<0$, $B(x)\geq 0$
- $A(x)<0$, $B(x)<0$
Ti rimando a un video YouTube in cui ti ho svolto degli esercizi in merito. Lo pubblicherò a breve qui di seguito.
Disequazioni con tre o più valori assoluti
Quando una disequazione contiene almeno tre valori assoluti, non conviene più studiare singolarmente i vari casi ma conviene studiare il segno delle singole quantità che stanno dentro il valore assoluto. Ti ho mostrato un esempio nel video che pubblicherò a breve.
