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Mediana

La mediana $M$ di un insieme di $n$ dati ordinati in modo crescente, è il valore centrale dei dati se il numero di dati è dispari, o la media aritmetica dei due valori centrali se il numero dei dati è pari

Ad esempio, considerando i seguenti dati $$15,\quad 14,\quad 2,\quad 27,\quad 13$$ e disponendoli in ordine crescente $$2,\quad 13,\quad 14,\quad 15,\quad 27$$ la mediana è $Me=14$

Mentre, invece, se consideriamo un numero di dati pari come il seguente $$11,\quad 9,\quad 17,\quad 19,\quad 4,\quad 15$$ e li ordiniamo in maniera crescente $$4,\quad 9,\quad 11,\quad 15,\quad 17,\quad 19$$ la mediana si calcola facendo la media aritmentica dei due valori centrali $11$ e $15$: $$Me=\frac{11+15}{2}=13$$

Mediana per dati raggruppati

In questo caso, data la distribuzione delle frequenze, bisogna seguire i seguenti step:

  1. calcolare le frequenze relative;
  2. calcolare le frequenze cumulate;
  3. determinare la classe in corrispondenza della quale la frequenza cumulata sia maggiore di $0.5$.

Indicata con $[x_{i-1},x_i]$ tale classe (detta classe mediana) e con $f_c^{i-1}$ e $f_c^i$ i valori delle frequenze cumulate corrispondenti, per trovare il valore mediano si applica la seguente formula: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{Me = x_{i-1}+(x_i-x_{i-1})\frac{0.5-f_c^{i-1}}{f_c^i-f_c^{i-1}}}$$

Per determinare i quartili e i percentili si adatta tale formula (vedi qui).

Esempio

Si considerino le distribuzioni per le classi di età della popolazione residente (espressa in migliaia) in Piemonte nel 1979:

Calcolo della mediana per dati raggruppati in classi

Sulla base di un'ipotesi che i più longevi siano stati novantenni, calcolare l'età mediana nella regione Piemonte.

Qui in basso, la tabella con le frequenze relative e cumulate.

Calcolo frequenze relative e cumulate per la determinazione della classe mediana

Notiamo subito che il valore della prima frequenza cumulata maggiore di 0.5 è $0.6105$ e si trova in corrispondenza della classe $25-|45$. Quest'ultima è la classe mediana. Per trovare il valore mediano, utilizziamo la formula esposta sopra: $$Me = 25+(45-25)\frac{0.5-0.3316}{0.6105-0.3316}=37.0760$$

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