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Quartili, quantili e percentili

Oltre alla mediana, che divide a metà un insieme di dati ordinati, vengono usati anche altri indici di posizione che dividono le distribuzioni in determinate percentuali detti quartili, quantili e percentili. Questi sono detti indici di posizione non centrale e vengono usati soprattutto per ampi insiemi di dati.

I quartili sono un caso particolare dei quantili e, come dice la parola stessa, si ottengono dividendo l'insieme di dati ordinati in 4 parti uguali ed esattamente:

  • il primo quartile $Q_1$ è il valore che lascia alla sua sinistra il 25% degli elementi della distribuzione; $Q1$ è anche detto 25-esimo percentile ($P_{0.25}$).
  • Il secondo quartile $Q_2$ coincide con la mediana dato che è quello che lascia alla sua sinistra il 50% dei dati della distribuzione; $Q2$ è anche detto 50-esimo percentile ($P_{0.5}$).
  • Il terzo quartile $Q_3$ è il valore che lascia il 75% degli elementi a sinistra e il 25% a destra; $Q3$ è anche detto 75-esimo percentile ($P_{0.75}$).

I percentili, invece, dividono la distribuzione in 100 parti, ad esempio:

  • il 1° percentile $P_{0.01}$ lascia alla sua sinistra un centesimo degli elementi della distribuzione, ossia l'1%;
  • il 10° percentile $P_{0.1}$ lascia alla sua sinistra il 10% degli elementi della distribuzione;
  • il 50° percentile (che coincide con la mediana e con il secondo quartile) lascia alla sua sinistra il 50% della distribuzione.

I decili, invece, dividono la distribuzione in 10 parti, ad esempio:

  • il primo decile $P_{0.1}$ lascia alla sua sinistra un decimo degli elementi della distribuzione, ossia il 10%;
  • il terzo decile $P_{0.3}$ lascia alla sua sinistra il 30% degli elementi della distribuzione;
  • il quinto decile (che coincide con la mediana e con il secondo quartile) lascia alla sua sinistra il 50% della distribuzione.

Regola pratica per il calcolo dei quartili e dei percentili

Per calcolare i quartili (o anche i percentili) di una distribuzione, seguiamo i passi di seguito indicati:

  1. Si ordinano gli $n$ dati della distribuzione in ordine crescente;
  2. Indicato con $p$ il percentile in decimale ($p=0.25$ per il 25° percentile o 1° quartile, $p=0.37$ per il 37° percentile), si calcola il prodotto $k=np$;
  3. se $k$ è un intero, il quartile (percentile) si ottiene facendo la media del $k$-esimo e del $(k+1)$-esimo valore dei dati ordinati;
  4. se $k$ non è un intero, si arrotonda $k$ per eccesso al primo intero successivo e si sceglie come quartile (percentile) il corrispondente valore dei dati ordinati

Esempio su come calcolare i quartili

Calcolare il primo e il terzo quartile dell'insieme di dati $$32.2\quad 32\quad 30.4\quad 31\quad 31.2\quad 31.3\quad 30.3\quad 29.6\quad 30.5\quad 30.7$$

Ordiniamo i dati: $$29.6\quad 30.3\quad 30.4\quad 30.5\quad 30.7\quad 31\quad 31.2\quad 31.3\quad 32\quad 32.2$$

Per il primo quartile abbiamo: $$n=10,\quad p=0.25,\quad k=np=2.5$$

Poichè $k$ non è intero, si arrotonda per eccesso ($k=3$): il primo quartile è il terzo dei dati ordinati, ovvero, $$Q_1=30.4$$

Per il secondo quartile, ovvero la mediana, abbiamo: $$n=10,\quad p=0.5,\quad k=np=5$$

Poichè $k$ è intero, si fa la media tra il quinto e il sesto dato ottenendo $$Q_2=\frac{30.7+31}{2}=30.85$$

Per il terzo quartile abbiamo: $$n=10,\quad p=0.75,\quad k=np=7.5$$

Poichè $k$ non è intero, si arrotonda per eccesso ($k=8$): il primo quartile è l'ottavo dei dati ordinati, ovvero, $$Q_3=31.3$$

Esempio su come calcolare i percentili

Calcolare il 95-esimo percentile per i dati (già ordinati) della seguente tabella

Distribuzione di dati per il calcolo di percentili

Seguendo lo stesso procedimento adottato per calcolare i quartili otteniamo: $$n=80,\quad p=0.95,\quad k=np=76$$

Essendo $k$ intero, si fa la media tra il 76-esimo e il 77-esimo dato. Risulta: $$P_{0.95}=\frac{27.5+28.5}{2}=28$$

Il 95-esimo percentile fornisce un'importante informazione: soltanto il 5% dei dati sono maggiori di 28.

Calcolo quartili e percentili nel caso di dati raggruppati

La formula già vista qui per il calcolo della mediana nel caso di dati raggruppati in classi, si può adattare per il calcolo di qualsiasi quartile o percentile. Ad esempio, supponiamo di voler calcolare il primo quartile e il 79-esimo percentile; una volta determinata la classe di appartenenza (vedi procedura nel caso della mediana), le formule da utilizzare sono rispettivamente: $$Q_1 = x_{i-1}+(x_i-x_{i-1})\frac{0.25-f_c^{i-1}}{f_c^i-f_c^{i-1}}$$ e $$P_{0.79} = x_{i-1}+(x_i-x_{i-1})\frac{0.79-f_c^{i-1}}{f_c^i-f_c^{i-1}}$$

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