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Media aritmetica o valore medio In evidenza

Si definisce media aritmetica o media campionaria di $n$ dati $x_1,x_2,\dots ,x_n$ la quantità

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\overline{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}}$$

Ad esempio la media dei dati $$3,\quad 3,\quad 5,\quad 4,\quad 7,\quad 7,\quad 7,\quad 9,\quad 2,\quad 1,\quad$$ è $$\overline{x}=\frac{3+3+5+4+7+7+7+9+2+1}{10}=4.8$$

Media per dati raggruppati

Supponiamo di avere $n$ dati raggruppati in $k$ classi e indichiamo con $m_i$ il valore centrale della generica classe e con $f_i$ la corrispondente frequenza assoluta della classe, allora la media in questo caso è:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\overline{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^km_if_i}{n}}$$

Esempio

La seguente tabella ci mostra i valori centrali e le frequenza assolute corrispondenti a ciascuna classe in cui i dati iniziali sono stati raggruppati

Media e varianza per dati raggruppati in classi

Applicando la formula sopra esposta si ottiene $$\overline{x}=\frac{7\cdot 4+11\cdot 9+15\cdot 15+19\cdot 24+23\cdot 17+27\cdot 9+31\cdot 2}{80}=18.8$$

Media condizionata o marginale

Capita spesso di avere a che fare con una distribuzione di frequenza doppia, ossia una tabella in cui sono presenti le frequenze di due caratteri statistici (vedi approfondimento sulle tabelle di contingenza o a doppia entrata).

Di seguito vediamo come calcolare tramite un esempio la media condizionata ad un gruppo di dati di una distribuzione doppia di dati.

Il responsabile di un centro medico di un ente pubblico è interessato a studiare le abitudini dei dipendenti rispetto al fumo e all'alcool. Dalla somministrazione di un questionario ai suoi dipendeti ottiene le seguenti informazioni:

Media condizionata distribuzione doppia di frequenza

Calcolare la media del numero di sigarette fumate dagli astemi e dai bevitori.

Indichiamo con S la variabile "numero di sigarette fumate" e con A e B rispettivamente i gruppi di persone astemie e bevitori come mostrato nella figura qui in basso.

Suddivisione distribuzione doppia in base al carattere condizionante

La media del numero di sigarette fumate dagli astemi è la media condizionata $$M(S|A)=\frac{0\cdot 35 + 5\cdot 10+ 20\cdot 5}{50}=3$$

Mentre invece, la media del numero di sigarette fumate dai bevitori è la media condizionata $$M(S|B)=\frac{0\cdot (25+10) + 5\cdot (15+5)+ 20\cdot (15+10)}{55+25}=7.5$$

Notiamo che, essendo i dati raggruppati in classi, la media è stata calcolata prendendo i valori centrali della classe cosi come spiegato sopra.

Proprietà associativa della media aritmetica

Supponiamo che X sia il carattere quantitativo di cui vogliamo calcolare la media totale, n siano tutte le osservazioni e $A_1,\dots ,A_k$ siano tutti i gruppi corrispondenti ai caratteri condizionanti di X aventi rispettivamente $n_1,\dots , n_k$ unità statistiche. Allora, la media totale può essere calcolata mediante la proprietà associativa della media aritmetica: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{M(X)=\frac{M(S|A_1)\cdot n_1+M(S|A_2)\cdot n_2+\dots +M(S|A_k)\cdot n_k}{n}}$$

In sostanza, la media aritmetica totale di una distribuzione doppia di dati può essere calcolata facendo la media ponderata di tutte le medie condizionate.

Riferendoci alla distribuzione di frequenze dell'esempio precedente, la media totale del numero di sigarette fumate è dato da: $$M(S)=\frac{0\cdot (35+25+10) + 5\cdot (10+15+5)+ 20\cdot (5+15+10)}{130}=5.77$$

Possiamo adesso verificare che vale la proprietà associativa, infatti: $$M(S)=\frac{M(S|A)\cdot n_A+M(S|B)\cdot n_B}{n}=\frac{3\cdot 50+7.5\cdot 80}{130}=5.77$$

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