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Indici di dispersione o variabilità

Nelle lezioni precedenti, abbiamo analizzato tutte le misure di tendenza centrale mediante le quali una distribuzione statistica può essere sintetizzata. Tali misure non sono tuttavia sufficienti a caratterizzare completamente una distribuzione: sono necessarie altre misure per dire "con quale precisione", ad esempio, i valori medi sono rappresentativi della distribuzione, in altri termini sono necessari parametri per misurare la variabilità dei dati.

Sono state definite numerose misure di variabilità, ma soltanto alcune presentano reali applicazioni nelle analisi statistiche; nel seguito saranno discusse quelle più utilizzate.

Misure di variabilità assolute

In particolare descriveremo nel dettaglio le seguenti misure assolute:

  1. Campo di variazione
  2. Scostamento medio assoluto
  3. Varianza e scarto quadratico medio

Si chiamano misure di variabilità assolute perchè sono espresse nella stessa unità di misura dei dati della distribuzione.

Misure di variabilità relative

Quando invece si vogliono utilizzare misure adimensionali di variabilità si ricorre alle misure relative di variabilità, cioè a numeri puri non espressi in alcuna unità di misura, che permettono di confrontare tra di loro distribuzioni anche molto diverse.

Se, ad esempio, si vuole confrontare la variabilità di una distribuzione di pesi, espressi in kg, e la variabilità di una distribuzione di stature, espresse in cm, non si possono usare misure assolute.

Analogamente non si può confrontare, con misure assolute, la variabilità di due distribuzioni di prezzi se la prima è espressa in migliaia di euro e la seconda in milioni di euro.

La misura di variabilità relativa più diffusa è il coefficiente di variazione, ossia il rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica della distribuzione di dati; in formule: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{C.V.=\frac{s}{\overline{x}}}$$

In genere, per evitare troppe cifre decimali il coefficiente di variazione viene espresso in forma percentuale: $$C.V.=\frac{s}{\overline{x}}\cdot 100$$

Il coefficiente di variazione così definito, non può essere usato quando la media della distribuzione è prossima a zero, in quanto assume valore infiniti (divisione per zero); inoltre quando la media è negativa esso assume valori negativi.

Quando la media è positiva il coefficiente di variazione può assumere valori che vanno da zero a un massimo non definito; tali valori saranno tanto minori quanto meno i dati della distribuzione sono dispersi attorno alla media.

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